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机器人学战强北京航空航天大学机器人研究所第三章、机器人的运动学（Kinematics）机器人运动学研究的是机器人的工作空间与关节空间之间的影射关系或机器人的运动学模型（Model），包括正（Forward）运动学和逆（Inverse）运动学两部分内容。物料搬运⎩⎨⎧θ=θ=sincoslylxlθXY⎩⎨⎧θ−θ+θ=θ−θ+θ=)cos(cos)sin(sin2121121211llxllyXYθ1θ2l1l2?XZY?平面连杆机构末端位置(几何法):3-1、Denavit-Hartenberg(D-H)建模方法DenavitJ.andR.S.Hartenberg.Akinematicnotationforlow-pairmech-anismsbasedonmatrices.JournalofAppliedMechanics,1955:215-221.用齐次变换矩阵描述两个相邻连杆坐标系间的空间位姿关系α,a,d,θ3-1-1连杆参数关节运动副高副：两构件之间是线或点接触，如凸轮、齿轮低副：两构件之间是面接触，如旋转副、移动副、圆柱副、螺旋副、平面副、球面副运动副通常机器人的运动副都是低副机构，由旋转关节或移动关节组成，每个关节具有一个自由度1、关节简介连杆1关节1连杆2连杆07自由度机器人具有7个关节和7个连杆关节2关节3连杆3连杆4连杆5连杆6关节4关节52、连杆与连杆间关系的描述一个长度不为零的连杆的两端连接了两个关节，连杆的运动学功能在于保持两端关节轴线之间固定的几何关系。1）连杆i-1的长度a(i-1):关节轴线i-1和关节轴线i的公法线长度；2）连杆i-1的扭角α(i-1)：关节轴线i-1和关节轴线i的夹角；指向为从轴线i-1到轴线i。◆两关节i和i-1的轴线平行时α(i-1)=0◆两关节i和i-1的轴线相交时a(i-1)=0，指向可任意规定。α(i-1)a(i-1)i-1关节i关节求a(i-1)和α(i-1)求a(i-1)和α(i-1)5015050i-1i5015050i-1i例：o90o45i-1ii-1i（3）连杆i相对于连杆i-1的偏置di：关节i上的两条公法线ai与ai-1之间的距离，沿关节轴线i测量，如关节是移动关节，则它是关节变量。（4）关节角连杆i相对于连杆i-1绕轴线i的旋转角度，绕关节轴线i测量，如关节i是转动关节，则它是关节变量。iθiθα(i-1)a(i-1)diaii-1关节i关节每一关节轴线有两条公法线与之垂直3、其他说明1)为了简化计算（使齐次矩阵简单），习惯约定首末连杆：0000====nnaaααZ2Y2X2a0a1Z0Y0X0Z1X1Y12)每个连杆用4个参数描述，2个描述连杆本身，另2个描述与相邻连杆的位姿（连接/几何）关系，对于旋转关节，是关节变量，其他3个固定不变，为连杆参数；对于移动关节，是关节变量，其他3个为连杆参数。iθdi相交且平行的两条直线是什么关系？3-1-2D-H坐标系的建立为了确定各连杆之间的相对运动和位姿关系，在每个连杆上固接一个坐标系。基坐标系{0}、坐标系{n}、坐标系{i}。Z(i-1)X(i-1)Y(i-1)α(i-1)a(i-1)ZiYiXiaidiΥi1、坐标系{0}和{n}的规定Z0轴沿关节轴1的方向，关节变量1为零时，坐标系{0}与{1}重合关节1是旋转关节时，d0=0,关节1是移动关节时，θ0=0Zn轴沿关节轴n-1的方向，关节变量n-1为零时，坐标系{n-1}与{n}重合关节n-1是旋转关节时，dn=0,关节n-1是移动关节时，θn=02、中间连杆坐标系规定坐标系i的Z轴与关节轴i共线，指向不定；X轴与公垂线重合，指向从i到i+1当相交时，iiiZZX×±=+1原点O取为XZ的交点；1+iiZZ和相交时，其交点为{i}原点，1+iiZZ和平行时，{i}原点取在使偏置为零处。{i}Z(i)X(i)Y(i)α(i)a(i)Zi+1Yi+1Xi+1ai+1di+1i+1θ3、利用连杆坐标系可以明确定义连杆参数为:1−ia:从1−iZ到iZ沿1−iX测量的距离1−αi:从1−iZ到iZ绕1−iX旋转的角度id:从1−iX到iX沿iZ测量的距离iθ:从1−iX到iX绕iZ旋转的角度Z(i-1)X(i-1)Y(i-1)α(i-1)a(i-1)ZiYiXiaidiΥi4、步骤：原则：先建立中间坐标系{i}，后两端坐标系{0}{n}1）确定Z轴：找出关节轴线及关节转向采用右手定则确定Z；2）确定原点：如果两相邻轴线Zi与Zi+1不相交，则公垂线与轴线i的交点为原点，注意平行时原点的选择应使偏置为零；如果相交则交点为原点，注意:如果重合则原点应使偏置为零；3）确定X轴：两轴线不相交时，X与公垂线重合，指向从i到i+1；若两轴线相交，则X是两轴线所成平面的法线X=－＋Zi×Zi+1；注意:如果两轴线重合，则X轴与轴线垂直且使其他连杆参数为零；4）按右手定则确定Y；5）当第一个关节变量为零时，规定{0}与{1}重合，对于末端坐标系{n}，原点与X任选，希望坐标系{n}使杆参数尽量为零。5、连杆变换与运动学方程1）推导相邻连杆坐标系{i}与{i-1}的齐次变换矩阵1−ia1−iαidiθ四个参数分成四个基本子变换（1）绕1−iX转1−iα（2）沿1−iX移（3）绕转（4）沿移1−iaiZiZiθidZ(i-1)X(i-1)Y(i-1)α(i-1)a(i-1)ZiYiXiaidiΥiiθ因所有的子变换都是相对于动系的，所以),(),(),(),(111iiiiiidZTransZRotaXTransXRotTθα−−−=TheDenavit-HartenbergMatrix⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=−−−−−−−−−−1000cosαcosαsinαcosθsinαsinθsinαsinαcosαcosθcosαsinθ0sinθcosθi1)(i1)(i1)(ii1)(iii1)(i1)(i1)(ii1)(ii1)(iiiddaTii16、机器人正向运动学方程⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=•••••=•••••=1000)()()()()()(606066555444333222111065544332211060PRqTqTqTqTqTqTTTTTTTT杆0Y3杆1杆2杆3杆5杆4X0/X1Y0/Y1X6Y6X5Y5X4Y4X3X2Y2ia(i-1)α(i-1)diθi1000θ1(0)2a000θ2(0)3a1-900θ3(0)4(末端)002d0D-H参数表例1:Z4a0a1Z2X3Y2Z3X2Y3d2Z1X1Z0Y0X0Y1X4Y44(末端)321iθidiα(i-1)a(i-1)θ1(0)000θ2(0)00a0θ3(0)0-90a10d200⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=1000010000cosθsinθ0sinθcosθT2202221a⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=1000000sinθcosθT0cossin1003313332θθa⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000100000T24310001d⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡========1000001030100300011000301000010000110000010010020001100001000010100010,30,20,104332211040321210TTTTTdaaθθθ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=1000010000cosθsinθ00sinθcosθT011111Z41020Z2X3Y2Z3X2Y330Z1X1Z0Y0X0Y1X4Y4⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=10000010301003000140TyxzRyRxRzia(i-1)α(i-1)diθi1000θ1(0)2a000θ2(0)3a1-902dθ3(0)D-H参数表例2:a0a1Z2X3Y2Z3X2Y3d2Z1X1Z0Y0X0Y1ia(i-1)α(i-1)diθi1000θ1(0)2a000θ2(0)3a1-900θ3(0)4(末端)002d0例1的D-H参数表Y3X3Z3⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=1000010000cosθsinθ0sinθcosθT2202221a⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=100000sinθcosθT0cossin10033213332θθda⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−===θ=θ=θ===1000001030100300010,30,20,1032211030321210TTTTdaa⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=1000010000cosθsinθ00sinθcosθT011111Y3X3Z0Y0X0Z1X1Y1Z2X2Y2Z3例3:ia(i-1)α(i-1)diθi100a1θ1(0)20-900θ2(0)3090a2θ3(0)D-H参数表a1a2321iθidiα(i-1)a(i-1)θ1(0)a100θ2(0)0-900θ3(0)a2900⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=100010000cosθsinθ0sinθcosθT01111110a⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=1000000sinθcosθT0cossin1000222221θθ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθ−−−=10000sinθcosθT00cossin10003323332a⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡===θ=θ=θ==100030100001000010,20,103221103032121TTTTaa⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==1000301000010000132211030TTTTyxzRyRxRzY3X3Z0Y0X0Z1X1Y1Z2X2Y2Z31020Y3X3Z0Y0X0Z1X1Y1Z2X2Y2Z3ia(i-1)α(i-1)diθi1001aθ1(-90)20-900θ2(0)30902aθ3(0)D-H参数表a1a2例4:ia(i-1)α(i-1)diθi100a1θ1(0)20-900θ2(0)3090a2θ3(0)例3的D-H参数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−===θ=θ−=θ==100030100000100100,90,20,103221103032121TTTTaaY3X3Z0Y0X0Z1X1Y1Z2X2Y2Z31020⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==1000301000010000132211030TTTTyxzRyRxRz例3的值例5:Y3X3Z0Y0X0X1Z2Y2Z3Z1Y1X2a0a1d2ia(i-1)α(i-1)diθi100a0θ1(0)20-90d2θ2(0)3090a1θ3(0)D-H参数表Y3X3Z0Y0X0X1Z2Y2Z3Z1Y1X2a0a1d2321iθidiα(i-1)a(i-1)θ1(0)a000θ2(0)d2-900θ3(0)a1900⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=100010000cosθsinθ0sinθcosθT00111110a⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=100000sinθcosθT0cossin10002222221θθd⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=10000sinθcosθT00cossin10003313332θθa⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡===θ=θ=θ===1000301003001000010,30,20,1032211030321210TTTTdaaY3X3Z0Y0X0X1Z2Y2Z3Z1Y1X2102030例5:1、n系的Z轴与关节n+1的轴线重合；2、n系的坐标原点设在关节n和关节n+1的轴线公垂线与关节n+1的轴线交点处；3、X轴与公垂线重合，从关节n指向关节n+11、dn沿Zn-1轴从Xn-1轴到Xn的距离，与Zn-1方向相同为正；2、θn为绕Zn-1轴从Xn-1轴到Xn的转角，逆时针为正；3、an为沿Xn轴从Zn-1轴到Zn的距离，与Xn-1