第七章非平稳时间序列分析

第七章非平稳时间序列分析为什么研究非平稳时间序列？第一节非平稳时间序列的特征一、非平稳时间序列的概念要判断一个序列是否是平稳的，只需判断下列三个条件是否同时成立：()tEYm=2()tVarYd=（7.2）(,)tstsCovYYr-=上述三个条件中只要有一个不成立，就认为是非平稳的。模拟一、模拟二二、非平稳序列的分类（一）随机趋势非平稳过程（stochastictrendprocess）随机趋势非平稳过程又称为差分平稳过程（differencestationaryprocess）、有漂移项的非平稳过程（non-stationaryprocesswithdrift）。1tttYYu如果序列差分d次后变为一平稳过程，用ARMA(p,q)描述之，则把原序列记为ARIMA（p,d,q）。（二）趋势平稳过程（trendstationaryprocess）趋势平稳过程又称为退势平稳过程，其生成过程为：tttYu趋势平稳过程应该通过退势方法来得到平稳的时间序列，而不应该通过差分来获得平稳时间序列。（三）确定性趋势非平稳过程（non-stationaryprocesswithdeterministictrend）将上述两种过程合在一个过程中，可以得到确定性趋势非平稳过程。该过程既含有确定趋势项，又含有随机趋势项，其模型为1ttttYYa。该过程减去确定性时间趋势项之后，仍是非平稳过程。这种过程的时间趋势性比随机趋势非平稳过程和退势平稳过程更明显。三、非平稳时间序列的统计特征（一）单位根过程的统计特征222(,)()1/()()()ttkkttkCovyytkktVaryVaryttksrss---===--(,)()()kttkkttkCovyyVaryVaryrr--==平稳的AR（1）：（二）单位根过程传统t统计量失效1tttyy通常：211ˆtttyyy211ˆtttyy2ˆ()[0,(1)]dNN但是，对1的单位根过程，}{ty为非平稳序列，)ˆ(N的分布退化，变为常数0。无法构成传统的t统计量，第二节时间序列非平稳性的常规检验法对非平稳序列通常都要通过差分或季节差分转换为平稳序列处理，否则极易导致“伪回归”现象的发生。一个时间序列平稳与否，涉及到其估计方法的选择，所以时间序列平稳性的检验是很重要的。可以从不同角度、用不同方法对序列平稳性进行检验：一是图示法，这是一种简略的定性方法，比较直观形象，但不够精确；二是根据非平稳序列没有向均值回归的趋势设计检验方法；三是单位根检验法，检验特征方程是否存在单位根来判断是非平稳过程，这是用得最广的定量检验时间平稳与否的检验方法。一、数据图示法作出时间序列随时间变化的折线图，观察其是否存在趋势性。如果时间序列是平稳的，它有一固定的均值，并且应该在有限的时间穿越均值。从图形看应该围绕一条水平线上下波动，无明显的趋势性。非平稳过程可能没固定均值，或者向均值回归的时间非常长，从图形上看，大多数点不会围绕一条水平线上下波动。这种方法是具有简单、直观、运用方便等优点，但是对图形的观察要靠实际经验，并且带有一定的主观性，可能不同的分析者会得出不同的结论。二、基于相关图的平稳性检验法一个平稳序列的自相关函数要么是截尾的，要么是按照指数快速衰减到零，也就是说，较长时间间隔后的自相关函数应该趋近于0。而单位根过程的序列自相关函数没有截尾现象，衰减是很缓慢的。模拟随机游走的自相关函数；上证指数自相关函数；上证指数收益率的自相关函数；三、逆序检验法一个非平稳的趋势过程的均值和方差表现为时间的函数，几乎没有向常量回归的趋势。可以利用这个性质用逆序数检验序列是否表现出趋势性。（一）逆序数的定义对时间序列{,1,2,,}tytN而言，当ts时，如果满足tsyy，则称为一个逆序。{|,1,2,,}stsACountyytstN(1,2,,)sN为样本点sy的逆序数，其中N为时间序列样本容量，表示逆序的总个数。样本的逆序总数为1NssAA比如，对序列(2,4,6,5,8,9)而言，逆序数为A1=5，A2=4，A3=2，A4=2，A5=1，A6=0则154221014NssAAH0：时间序列是无趋势的；H1：序列包含趋势。1、首先将时间序列按顺序分成M段，计算每段样本数据的样本均值和样本方差，得到均值序列和方差序列：1(,,)Myy和221(,,)M；2、计算均值序列（或方差序列）的逆序总数11MiiAA；3、计算检验统计量。在原假设下，序列为非趋势的，数据围绕水平线（常数）上下波动，则逆序的总数处于不大不小的适中位置；若逆序数很小或过大，则支持备择假设，过小是趋势随时间下降，过大是趋势随时间增加。近似于标准正态分布1()2()AEAZDA1()(1)4EAMM2(235)()72MMMDA四、游程检验（略）第三节时间序列非平稳性的单位根检验法一、单位根过程若随机过程ty满足：tttuyy1（7.23）其中1，tu为一平稳过程，且,2,1,0,),(,0)(suuCovuEssttt，则称随机过程ty为单位根过程。如果包含非0常数项：tttuyy1（7.24）则称为带漂移的单位根过程。滞后多项式的特征方程有一单位根。差分序列是一平稳过程。我们把经过一次差分后变为平稳的序列称为一阶单整序列(IntegratedProcess)，或者叫可积序列，记为~I(1)。如果序列经过d次差分后平稳，而d-1次差分却不平稳，那么称为d阶单整序列，记为~I（d），d称为单整阶数。二、单位根过程检验统计量分布基础如前所述，对单位根过程这种非平稳序列的分析，传统分析方法失效，需寻找新的处理方法和技巧。这些新的分析方法都是建立在维纳过程（布朗运动）和泛函中心极限定理之上。（一）维纳过程设)(tW是定义在闭区间[0，1]上一连续变化的随机过程，若该过程满足：（a）W(0)=0；（b）独立增量过程：对闭区间[0，1]上任意一组分割1021kttt，)(tW的变化量：12312,,,kktWtWtWtWtWtW为相互独立的随机变量；（c）对任意10ts，有),0(~)()(stNsWtW标准维纳过程是一个正态独立增量过程),0(~)0()()(tNWtWtW),0(~)0()()(tNWtWtW)1,0(~)1(NW标准维纳过程在任意时刻t服从正态分布。一般维纳过程：)()(tWtB))(,0(~)()(2stNsBtB),0(~)0()()(2tNBtBtB),0(~)1(2NB（二）泛函中心极限定理,,,,21t,,,,21t独立同分布，且,2,1,)(,0)(2tDEttr为闭区间[0，1]上的任一实数，给定样本N,,,21，取其前][rNNr项构造统计量：rNtNrX11)(FCL实际上是随机过程和它经验过程的关系)()(11rWrBNrXNLNtr),0(~)1(1121NWNXNLNt三、DF单位根检验法tttyy1tttyy1情形一：假设数据由（真实过程）(7.29)产生，在回归模型(7.29)中检验假设：1:0H情形二：假设数据由（真实过程）(7.29)产生，在回归模型(7.30)中检验假设：0;1:0H情形三：假设数据由（真实过程）(7.30)产生，在其中检验假设：;1:0H情形四：假设数据由（真实过程）(7.30)产生，在回归模型ttttyy1中检验假设：0;1:0Ht统计量的极限分布依赖于回归模型形式的选择（即是否包含常数项和趋势项）（一）情形一的DF检验法211ˆtttyyy21212ˆˆˆˆtyst在H0成立的条件下，t统计量具有如下极限：即t统计量依分布收敛于维纳过程的泛函，表明t检验统计量不再服从传统的t分布，传统的t检验法失效。上面的极限分布一般称为Dickey—Fuller分布，对应的检验称为DF检验。212121102221221211ˆ11ˆ1ˆdrrWWSYNYNtLttt由于)1(~)1(22W，(7.32)式的分母恒正，分子是)1(2分布与其均值之差，因此上述检验统计量的极限分布是非对称、左偏的。又因70.0}1)1({2P，所以检验值大都是负数。Dickey—Fuller分布是非标准的，因此人们用MonteCarlo方法模拟得到检验的临界值，并编成DF检验临界值表（情形一）供查。若t统计量值小于DF检验临界值，则拒绝原假设.（二）情形二的DF检验法tttyy121010210210221][]11[21)1(ˆdrrWdrrWdrrWWdrrWWNL210102102][)1(]11[21drrWdrrWdrr)1ˆ(N2121010210221212ˆ2ˆ][111)ˆ(1ˆˆ1ˆdrrWdrrWdrr（三）其它情形的DF检验法Dickey、Fuller还考察了情形三、情形四下的单位根检验问题，检验统计量同前。可以证明，在情形三下，检验用的t统计量的极限分布为正态分布，从而可按照传统检验法进行；在情形四下，检验用的t统计量的极限分布为非正规分布，需要参考其特殊的临界值表。四、PP单位根检验法与ADF单位根检验法PP单位根检验法是针对扰动项存在序列相关性而提出的，该方法是对DF单位根检验法的进一步推广，其关键点是，在DF检验统计量的基础上进行修正，由于修正后的统计量与DF检验中的统计量有相同的极限分布，因此可借用DF检验临界值表进行检验。(一）单位根过程的PP检验法01)(,jjtjtttttBuuyy0;1:0H2101022022121010210221][/][1111ˆdrrWdrrWdrrWdrrWdrr修正后的统计量与DF检验情形二中的统计量的极限分布(7.34)一致，从而可用相同的临界值表。)ˆ)((21)1ˆ(22202sNN21010210221][111drrWdrrWdrrsNtˆ2)(0202121010210221][111drrWdrrWdrr统计量有相同的极限分布(7.35)，从而可用相同的临界值表进行检验。此外，对于情形一、四，Phillips、Perron证明了，修正统计量的极限分布与DF检验中对应情形的极限分布相同，从而可使用DF检验的临界值表。（二）单位根过程的ADF检验法tptptttyyyy2211p211,,2,1);(1pjpjjtptpttttyyyyy11221112．ADF检验：与DF检验一样，ADF检验也分为四种情形建立估计模型，情形一：数据序列由模型(7.43)生成，并在其中检验单位根，即1:0H。情形二：数据序列由模型(7.43)生成，在如下估计模型中检验1:0H。tptpttttyyyyy