高中数学抽象函数题型汇编及答案

抽象函数常见题型汇编及答案抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知的定义域，求的定义域，解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。例题1：设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为（2）由已知，得，解得，故的定义域为(二)已知的定义域，求的定义域。解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____。解析：由，得，所以，故填(三)已知的定义域，求的定义域。解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。例题3：函数定义域是，则的定义域是_______解析：先求的定义域，的定义域是，，即的定义域是再求的定义域，，的定义域是(四)运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。例题4：函数的定义域是，求的定义域。解析：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是【巩固1】已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。解析：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是［1，4］【巩固2】已知函数的定义域是，求函数的定义域。解析：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是【巩固3】fx()定义域为(0)，1，则yfxafxaa()()(||)12定义域是__。解析：因为xa及xa均相当于fx()中的x，所以010111xaxaaxaaxa(1)当120a时，则xaa()，1;(2)当012a时，则xaa()，1二、解析式问题1.换元法：即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出()fx，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例题5：已知()211xfxx,求()fx.解析：设1xux,则1uxu∴2()2111uufuuu∴2()1xfxx2.凑合法：在已知(())()fgxhx的条件下，把()hx并凑成以()gu表示的代数式，再利用代换即可求()fx.此解法简洁，还能进一步复习代换法。例题6：已知3311()fxxxx，求()fx解析：∵22211111()()(1)()(()3)fxxxxxxxxxx又∵11||||1||xxxx，∴23()(3)3fxxxxx，(|x|≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例题7：已知()fx二次实函数，且2(1)(1)fxfxx+2x+4,求()fx.解析：设()fx=2axbxc，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)fxfxaxbxcaxbxc=22222()24axbxacxx比较系数得2()41321,1,2222acaabcb∴213()22fxxx4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例题8：已知y=()fx为奇函数,当x0时,()lg(1)fxx,求()fx解析：∵()fx为奇函数，∴()fx的定义域关于原点对称，故先求x0时的表达式。∵-x0,∴()lg(1)lg(1)fxxx,∵()fx为奇函数，∴lg(1)()()xfxfx∴当x0时()lg(1)fxx∴lg(1),0()lg(1),0xxfxxx例题9：()fx为偶函数，()gx为奇函数，且有()fx+1()1gxx，求()fx,()gx.解析：∵()fx为偶函数，()gx为奇函数，∴()()fxfx,()()gxgx,不妨用-x代换()fx+()gx=11x………①中的x,∴1()()1fxgxx即()fx－1()1gxx……②显见①+②即可消去()gx,求出函数21()1fxx再代入①求出2()1xgxx5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()fx的表达式例题10：设()fx的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()fxfxfyxy,及(1)f=1,求()fx解析：∵()fx的定义域为N，取y=1,则有(1)()1fxfxx∵(1)f=1,∴(2)f=(1)f+2,(3)(2)3ff……()(1)fnfnn以上各式相加，有()fn=1+2+3+……+n=(1)2nn∴1()(1),2fxxxxN【巩固4】设函数fx()存在反函数，gxfxhx()()()1，与gx()的图象关于直线xy0对称，则函数hx()A.fx()B.fx()C.fx1()D.fx1()解析：要求yhx()的解析式，实质上就是求yhx()图象上任一点Pxy()00，的横、纵坐标之间的关系。点Pxy()00，关于直线yx的对称点()yx00，适合yfx1()，即xgy00()。又gxfx()()1，xfyyfxyfx0100000()()()，即hxfx()()，选B。【巩固5】设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。解析：在中以代换其中x，得：再在(1)中以代换x，得化简得：评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。三、求值问题这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。例题11：已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②，求f(3)，f(9)的值。解析：取，得因为，所以又取，得例题12：定义在R上的函数fx()满足：fxfx()()4且fxfx()()220，求f()2000的值。解析：由fxfx()()220，以tx2代入，有ftft()()，fx()为奇函数且有f()00，又由fxfx()[()]44()()(8)(4)()fxfxfxfxfx，fx()是周期为8的周期函数，ff()()200000【巩固6】已知fx()的定义域为R，且fxyfxfy()()()对一切正实数x，y都成立，若f()84，则f(2)_______。解析：在条件fxyfxfy()()()中，令xy4，得ffff()()()()844244，f()42又令xy2，得fff(4)(2)(2)2，f(2)1【巩固7】已知fx()是定义在R上的函数，且满足：fxfxfx()[()]()211，f()11997，求f(2001)的值。解析：紧扣已知条件，并多次使用，发现fx()是周期函数，显然fx()1，于是fxfxfx()()()211，fxfxfxfxfxfxfxfx()()()()()()()()412121111111所以fxfxfx()()()814，故fx()是以8为周期的周期函数，从而fff(2001)()()8250111997四、值域问题例题13：设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。解析：令，得，即有或。若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意所以评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。【巩固8】已知函数fx()对任意实数xy，有fxyfxfy()()()，且当x0时fxf()()012，，求fx()在[]21，上的值域。解析：设xx12，且xxR12，，则xx210，由条件当x0时，fx()0，fxx()210又fxfxxx()[()]2211fxxfxfx()()()2111，fx()为增函数，令yx，则ffxfx()()()0又令xy0，得f()00，fxfx()()，故fx()为奇函数，ff()()112，ff()()2214fx()[]在，21上的值域为[]42，五、求参数范围或解不等式这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例题14：已知fx()是定义在（11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足fafa()()2402，试确定a的取值范围。解析：fx()是偶函数，且在（0，1）上是增函数，fx()在()10，上是减函数，由1211412aa得35a。（1）当a2时，fafaf()()()2402，不等式不成立。（2）当32a时，2222120(2)(4)(4)1403224afafafaaaaa（3）当25a时，fafa()()242222021(4)0412524afaaaaa综上所述，所求a的取值范围是()()3225，，。例题15：fx()是定义在(]，1上的减函数，若fmxfmx(sin)(cos)221对xR恒成立，求实数m的取值范围。解析：：mxmxmxmx22223131sincossincos对xR恒成立mxmxmx22231sinsincos对xR恒成立mxmmxxx2222311254sinsincos(sin)对xR恒成立，223111025214mmmm，为所求【巩固9】已知函数fx()是定义在(]，1上的减函数，且对一切实数x，不等式fkxfkx(sin)(sin)22恒成立，求k的值。解析：由单调性，脱去函数记号，得kxkxkxkxkkx222222221111412sinsinsinsin()(sin)(2)由题意知(1)(2)两式对一切xR恒成立，则有kxkkxk2222111412941(sin)(sin)minmax【巩固10】已知函数fx()对任意xyR，有fxfyfxy()()()2，当x0时，fx()2，f()35，求不等式faa()2223的解集。解析：设xxR12、且xx12，则xx210，fxx()212，即fxx()21202211211121()[()]()()2()()()fxfxxxfxxfxfxfxfx，故fx()为增函数，又fffff()()()()()3212123145，22(1)3(22)3(1)22113ffaafaaa，，，即因此不等式faa()2223的解集为aa|13。六、单调性问