高考考余弦定理证明

从高考考余弦定理证明谈起【题1】叙述并证明勾股定理（1979年全国卷，四题）.【说明】这道大题，在总分为110分的考卷上，理科占6分，文科占9分.理科的评分标准是：（1）叙述勾股定理（2分）；（2）证明勾股定理（4分）.【题2】（1980·理科四题（满分8分））写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明【插话】对这道题目，人们虽然不感到新鲜，但有一个期待，期待着标准答案中有“新鲜东西”出现.后来一看，非常“失望”，该题对余弦定理的证明，依赖的仍然是勾股定理.【题3】（2010年四川）（文）（19）（本小题满分12分）（Ⅰ）1证明两角和的余弦公式；2由推导两角和的正弦公式.（Ⅱ）已知，求解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.则P1(1,0),P2(cosα,sinα)P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.…②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosαsin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分(2)∵α∈(π,),cosα＝－∴sinα＝－∵β∈(，π),tanβ＝－∴cosβ＝－,sinβ＝cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝(－)×(－)－(－)×＝（理）（19）（本小题满分12分）（Ⅰ）1证明两角和的余弦公式；2由推导两角和的正弦公式.（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC.解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.则P1(1,0),P2(cosα,sinα)P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosαsin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c则S＝bcsinA＝＝bccosA＝3＞0∴A∈(0,),cosA＝3sinA又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝,cosA＝由题意，cosB＝,得sinB＝∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－…………………………12分【题4】（2011年陕西）