§6.3-泰勒公式--数学分析课件(华师大四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式多项式函数是最简单的函数.用多项式来逼近一般的函数是近似计算的重要内容,也是数学的研究课题之一.§3泰勒公式数学分析第六章微分中值定理及其应用二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式三、在近似计算中的应用*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用)(xf设在0xx处可导,0000()()()()().fxfxfxxxoxx当||0xx充分小时,)(xf可以由一次多项式))(()(000xxxfxf其误差为0().oxx带有佩亚诺型余项的泰勒公式)(0xxo是不够的,而要考虑用较高次误差仅为的多项式来逼近f,使得误差更小,0(()).noxx如由有限增量公式近似地代替,但在许多情况下,后退前进目录退出§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用问题:是否存在一个n次多项式),(xPn使得?))(()()(nonxxoxPxf答案:当f(x)在点x0有n阶导数时,这样的n次多设0100()()(),nnnPxaaxxaxx则有什么关系？现在来分析这样的多项式与f(x)项式是存在的.带有佩亚诺型余项的泰勒公式,!)(0)(nnnanxP,)(00axPn,)(10axPn,!2)(20axPn,数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用即()0().!nnnPxan上式表明Pn(x)的各项系数是由其在点x0的各阶设f(x)在x0处n阶可导.导数所确定的.),(00xPan,!1)(01xPan,!2)(02xPan,带有佩亚诺型余项的泰勒公式即00()()lim0,()nnxxfxPxxx),)(()()(0nnxxoxPxf如果数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用则不难得到:,,,2,1,0),()(0)(0)(nkxPxfknk)1(000()()()()1!nfxTxfxxx0.k其中表示不求导)2(()00()().!nnfxxxn带有佩亚诺型余项的泰勒公式为f(x)在点x0的n阶泰勒多项式,为泰勒系数.()0()(0,1,,)!kfxknk这时称称)(xTn确实是我们所需要的多项式.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用定理6.8设f(x)在x=x0处有n阶导数，则,))(()()(0nnxxoxTxf即200000)(!2)()(!1)()()(xxxfxxxfxfxf).)(()(!)(000)(nnnxxoxxnxf)3(带有佩亚诺型余项的泰勒公式故只需证00()()lim0.()()nnnxxnRxRxQxxx证设,)()(,)()()(0nnnnxxxQxTxfxR数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用因为,0)()()(0)(00xRxRxRnnnn(1)()0000()()()0,()!nnnnnnQxQxQxQxn则当，时且00)(xxxUx连续使用n–1次洛必达法则,得到带有佩亚诺型余项的泰勒公式()()()nnRxfxTx()()()()()()kkknnRxfxTx所以100)()(lim)()(lim00nnxxnnxxxxnxRxxxR)(!)(lim0)1(0xxnxRnnxx数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用0(1)(1)()0000()()()()1lim!nnnxxfxfxfxxxnxx)(xf)3(式称为在点0x处的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式.注10)(xxf在点即使附近满足)4())(()()(0nnxxoxPxf带有佩亚诺型余项的泰勒公式0.也不能说明)(xPn一定是f(x)的n阶泰勒多项式.0(1)(1)()000()()1lim()!nnnxxfxfxfxnxx数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用,0)(,)()(1xPxxDxfnn00x在处满足(4).)(xPn不是f(x)在点的n阶泰勒多项式,00x在点x=0的高阶导数(二阶和二阶以上)都不存比如所以无法构造n阶多项式.但是当n1时,原因是f(x)在,带有佩亚诺型余项的泰勒公式).)(()()(0nnxxoxTxf注2若f(x)在点x0有n阶导数,项式(泰勒多项式Tn(x))满足:则只有惟一的多数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用注3可以证明对任意一个n次多项式,)(xPn),(0xU使得).(,|)()(||)()(|0xUxxPxfxTxfnn这也就是说,)(xTn是逼近)(xf的最佳n次多项式.存在带有佩亚诺型余项的泰勒公式在以后的应用中,公式(3)中的x0常被取作0,形式()'(0)(0)()(0)()1!!nnnfffxfxxoxn).(!)0(0)(nnkkkxoxkf变为此式称为(带有佩亚诺型余项)的麦克劳林公式.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用麦克劳林(Maclaurin,C.1698-1746,苏格兰)泰勒(Taylor,B.1685-1731,英国)带有佩亚诺型余项的泰勒公式数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用例1验证下列公式2e1();1!2!1.!nxnxxxoxn32112sin(1)();3!(21.)2!mmmxxxxoxm2221cos1(1)();2!(2)!3.mmmxxxoxm231ln(1)(1)();234.nnnxxxxxoxn带有佩亚诺型余项的泰勒公式数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用211(6..)1nnxxxoxx以上这些公式均为最基本的泰勒公式(麦克劳林公2(1)(1)152!.xxx);(!)1()1(nnxoxnn式),请务必牢记.带有佩亚诺型余项的泰勒公式下面验证1和6,其余请读者自己验证.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用于是e的xn阶麦克劳林公式为).(!!2!11e2nnxxonxxx验证1因为,e)()(xkxf所以.1)0()0()0()(nfff带有佩亚诺型余项的泰勒公式2e1();1!2!1.!nxnxxxoxn211(6..)1nnxxxoxx数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用,)1(!1)(2xxg,,)1(!2)(3xxg故101xnx于是在的阶麦克劳林公式为,)1(!)(1)(nnxnxg).(1112nnxoxxxx验证6设,11)(xxg则,1)0(g,!1)0(g,!2)0(g!.)0(,ngn带有佩亚诺型余项的泰勒公式数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用例2求22()exfx的麦克劳林公式,并求)0()98(f解由例12e1(),1!2!!nxnxxxoxn那么2224222e1(1)().222!2!xnnnnxxxoxn.)0()99(f与带有佩亚诺型余项的泰勒公式,!492)1(!9814949)98(f由定理6.8的注2,可知上式就是22ex的麦克劳林公式,,0)0(!991)99(f于是得到.0)0(,!492!98)0()99(49)98(ff由泰勒系数公式可知9899xx和的系数为数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用x1例3求在点1x的泰勒公式.解)1(111xx21(1)(1)xx(1)(1)((1)).nnnxox)]1([11x带有佩亚诺型余项的泰勒公式下面这个例题是说明如何利用泰勒公式来求极限.211().1nnxxxoxx利用数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用例4求22330ln(1)esin1lim.xxxxx解因为),(2)1ln(4422xoxxx4224e1(),2!xxxox333sin(),xxox带有佩亚诺型余项的泰勒公式所以22330ln(1)esin1limxxxxx3330()lim1.xxoxx本题虽然可用洛必达法则来求,但上法比较简单.22333011()=limxxxxoxx数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用前面讲的带有佩亚诺型余项的泰勒公式实际上是0(()).noxx下面是一个定量形式的泰勒公式.我们用泰勒多项式去替代函数,其误差为有限增量公式的一个推广,泰勒公式带有拉格朗日型余项的带有拉格朗日型余项的泰勒公式它只是定性地的告诉数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用定理6.10（泰勒定理）若函数],[)(baxf在上存在直在(a,b)内存在(n+1)阶导数,200000()()()()()()1!2!fxfxfxfxxxxx()(1)100()()(),(5)!(1)!nnnfxfxxnn或者(1)10()()()().(1)!nnnffxTxxxn其中nxxfxTn的在点是0)()(阶泰勒多项式.到n阶连续导函数,0,[,],xxab则对(,),ab存在使带有拉格朗日型余项的泰勒公式数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用证设2()()()()[()()()1!2!ftftFtfxftxtxt;])(!)()(nntxntf,)()(1ntxtG),(0xx上可导,且0()(1)