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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：11102007所属学校（请填写完整的全名）：杭州电子科技大学参赛队员(打印并签名)：1.傅凌燕2.王森贤3.吴晓雷指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：数模组（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：2014年9月15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要嫦娥三号是我国首次对地外天体进行软着陆的探测器。软着陆时对月速度较小，着陆后可继续在月面进行考察，具有较大实际意义。本文对其软着陆轨道设计和控制策略做一个探究。在软着陆轨道的设计上，首先，我们以月心为原点，建立空间直角坐标系。由开普勒定律和机械能守恒，得到远日点的速度为1667.19m/s，近日点的速度为1748.04m/s。又考虑到轨道平面经过月心和着陆点，我们认为在轨道平面与赤道平面的二面角等于着陆点的月心连线与赤道平面的夹角时，轨道平面最优。根据着陆点，月心，近日点三点共面原理得出轨道平面方程为14.20x-5.04y+15.55z=0；根据速度大小和平面方程，得到近日点速度方向为（-1192,394,1216），远日点的速度方向为（1136,-375,-1160）。再对这些数据结果进行分析，从而确定轨迹图。在主减速阶段的控制策略上，考虑燃耗最少为目标函数建立多元线性规划模型。然而由于该模型计算量庞大以及实时数据监测的困难性，很难得到解析解，所以我们参考了一种显式制导方法。首先在一些合理的假设基础上对模型进行简化处理，然后通过查阅文献，确定一些模型的参数。在实现这两者的基础上，进行仿真分析。发现各参数关于时间的曲线都比较平缓，不存在不稳定现象，从而说明采用显式制导律可以得到一个燃耗最优的减速轨迹，且具有一个较好的动态特征。由于测量误差和系统参数偏差是影响嫦娥三号软着陆制导精度的主要原因，所以我们接着对减速阶段建立的模型进行误差和敏感性分析。选取发动机推力为偏差参数，考察其大小的改变对制导过程的影响。我们用MATLAB进行绘图分析，比较发现：主减速过程中，该轨迹对推力F误差敏感性较弱。从而说明显式制导律只和当前的状态信息、终端约束有关，具有较好的鲁棒性。在避障阶段的控制策略上，我们通过MATLAB对已给的高程图进行数据的读取，得到2300*2300和1000*1000两个矩阵。为了减小计算量，我们将两个矩阵分为10*10个区域，计算每个区域的方差。以区域中心为起点，方差大小来作为每个区域的平坦程度的指标，当区域方差大于平均方差时，认为该区域是危险区域，需要规避，否则为安全着陆区域。同时以燃耗最优为目标采用螺旋搜索算法进行搜索寻找。随之用MATLAB对该算法进行编程，绘出安全着陆区域的位置。关键字：轨道设计燃耗最优显式制导律仿真分析螺旋搜索算法21.问题重述1.1问题由来嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m1.2问题要求嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。2.问题分析在软着陆轨道的设计上，我们查阅文献，得知飞行器在减速阶段的燃耗会随着其初始速度的减小而减少。为了使近地点的速度最小，着陆轨道平面与月球赤道平面的夹角应最小。又考虑到轨道平面经过月心和着陆点，我们认为在轨道平面与赤道平面的二面角等于着陆点的月心连线与赤道平面的夹角时，轨道平面最优。为了计算方便，我们建立月心坐标系，求出软着陆轨道平面的方程和近日点，远日点的坐标。最后结合开普勒定律，得到嫦娥三号在近日点和远日点的速度。在主减速阶段的控制策略上，我们以燃耗最优性为出发点建立多元线性目标规划。然而由于计算量庞大以及实时数据监测的困难性，该模型很难得到解析解。所以我们参考了一种显式制导方法。通过仿真计算和敏感性分析，发现这种制导方法可以实现燃耗最优的软着陆，且与推力大小等既定参数关联较小，只与初始状态有关，因此具有较好的鲁棒性。在避障阶段的控制策略上，我们通过MATLAB对已给的高程图的数据进行读取并划分区域。计算每个区域的方差，并与平均方差作比较。当区域方差大于平均方差时，认为该区域是危险区域，需要规避，否则为安全着陆区域。同时以燃耗最优为目标采用螺旋搜索算法，从区域中心出发进行螺旋式搜索，直到找到安全着陆区域。33.问题假设和符号说明3.1问题假设1)着陆准备轨道的选取不考虑太空漂浮物的影响；2)软着陆阶段忽略辐射，粒子撞击对嫦娥三号运动速度与方向的影响；3)忽略地球等其他星体引力对嫦娥三号的影响；4)假设嫦娥三号在轨道运行中不存在内在故障或在外在事故；5)考虑嫦娥三号在姿态调整时，对其主减速过程的轨道不产生影响，将嫦娥三号看做一个质点。3.2符号说明G万有引力常数嫦娥三号质量月球质量d嫦娥三号在近月点距月心的距离v嫦娥三号在近月点的速度角速度水平速度径向速度径向加速度水平加速度β推力F的径向夹角比冲4.模型建立嫦娥三号是我国首次地外天体软着落任务。所谓软着陆，是指着陆器在制动系统作用下以很小的速度准确降落到月球指定区域，以保证实验设备的安全。现在国际上，总的来说，月球软着陆有两种形式：一是自地月转移轨道直接实现软着陆；二是自月球停泊轨道变轨至近月点然后实现软着陆。同第一种直接软着陆相比较，自环月轨道开始的软着陆方案具有很长的软着陆准备时间、可选择更大的着陆区域、可减少着陆舱部分的燃料消耗等优点。嫦娥三号选用的就是这样着陆方式。4.1软着陆轨道分析从月球停泊轨道下降到月面，软着陆过程大致可成为4个阶段[1]，如图1-1,1-2所示。这四个阶段中的每一个阶段都不是独立地，前一个阶段要完成的动作，要考虑到后面几个阶段的技术要求。4图1-1软着陆阶段轨道示意图图1-2软着陆各阶段分解图如上述两幅图所示，嫦娥三号的4个阶段大致是这样的：1)离轨段。嫦娥三号到达月球附近时，通过变轨进入月球停泊轨道，它是一条近圆的卫星轨道。2)自由下降段，也称霍曼转移段[2]。嫦娥三号脱离原来的停泊轨道，转入过渡轨道。过渡轨道是一条近月点在所选着陆点附近的椭圆轨道。3)动力下降段，也称主动制段。嫦娥三号沿着过渡轨道下降到距离月面一定高度时，制动发动机点火工作，开始动力下降。4)避障阶段（包括姿态调整段），也称最终着陆段。嫦娥三号水平方向为0，为在选定区域内找寻平坦着陆点，进行粗细避障侦查。54.2霍曼转移轨道探测器最优轨道平面模型嫦娥三号探测器在制动冲量结束后，脱离原来的停泊轨道，转入一条远月点高度约为100km，近月点高度约为15km的椭圆运行轨道。则采用这个无动力下降段一般比从停泊轨道连续采用有动力下降的方式更节省能量。项仁寿教授[2]已经说明探测器沿着轨道相切的椭圆运行时，当所需出发速度越小，则近日点速度越小，才能保证下一阶段——主动制段所需要消耗的燃料越小，从而达到整个软着陆过程消耗的燃料越小。4.2.1基于万有引力的模型分析嫦娥三号在轨道上运动，当其运动到近月点时，若它和月心的距离为d，则该点处嫦娥三号受到月球的引力和其由于运动产生的向心力分别为：(2.1)(2.2)(G为万有引力常数；为嫦娥三号质量；为月球质量；d为嫦娥三号在近月点距月心的距离；v为嫦娥三号在近月点的速度)由于在该点处=，则有(2.3)根据(2-3)我们可得出结论：嫦娥三号在近日点的速度v随着它与月心距离d的增大而减小。我们已知近日点到月表距离为15km已恒定，所以要使模型达到最优，需要控制同一水平线上，月心到月表面的距离。4.2.2月心坐标系的定义为了方便计算，我们建立月心坐标系{O,x,y,z}：以原点O为月心，轴垂直月球赤道面指向月球北极，轴在月球赤道面内，轴和与其他两轴垂直并构成右手坐标系。如图2-1所示。图2-1月心坐标系{O,x,y,z}64.2.3软着陆轨道平面确定根据图2-1我们可以做以下分析：假定月心0，着陆点P（1175.376，-416.453,1209.24）和近日点B三点控制的轨道平面为α，赤道平面为β，α与β之间的夹角为。在满足以上条件下，为了使月心0到近日点B距离d最大，则月表距月心最远点A应该与OB共线，即应该达到最小值。综上分析：嫦娥三号着陆点、月心和表面距月心最远点三点可控制一个平面，则近日点只有在该平面上，且在表面距离月心最远点和月心的延展线上时，才能保证嫦娥三号在近日点达到速度最优。由此，我们建立模型如下：maxcos=(2.4)(2.5)图2-2α与β二面角示意图如图2-2所示：n为平面α法向量，z轴为平面β法向量。根据二面角原理以及外积的几何意义[3],得到算法如下：(2.6)综合式(2.5)和式(2.6),得到轨道平面方程为14.20x-5.04y+15.55z=0(2.7)4.2.3基于开普勒公式确定两点速度大小嫦娥三号绕着月球做椭圆轨道运动，不妨将它看做是常规一个天体运动。对于行星运动定律，开普勒第三定律证实7近远远近(2.8)(T为嫦娥三号绕月球椭圆运转的周期；d为行星公转轨道半轴长；k为只用中心天体质量有关的常数)由于嫦娥三号在椭圆轨道运行时没有大气摩擦的干扰并且不考虑粒子、辐射等其他因素对其的影响，所以其在这无动力下降过程中保持了机械能守恒近远(2.9)结合式(2.8)和式(2.9)，得出近日点和远日点速度大小分别为：近1748.04m/s远1667.19m/s4.2.4结果分析综上分析，在所建立得月心坐标系中，我们得到结果如表1表2-1近日点与远日点结果分析表速度大小速度方向坐标近日点1748.04m/s（-1192,394,1216）(0,-1666.7,540.2)远日点1667.19m/s（1136,