三角形的外角

新课导入三角形三个内角的和等于多少度？180度了解三角形的外角概念和三角形外角的性质，初步学会数学说理．学习目标重点三角形的外角及其性质．难点运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地表达推理的过程和方法．教学重难点三角形外角定义三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫做三角形的外角．ABCD∠ACD是△ABC的一个外角．知识要点ABCD一个三角形有几个外角？画出△ABC的所有外角．FEGMN123456一个三角形有6个外角．图中△ABC的外角有：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6．三角形的一个外角,就是三角形一个内角的邻补角．即：∠1＋∠2＝180°．12每一个三角形都有6个外角；每一个顶点相对应的外角都有２个；每个外角与相应的内角是邻补角．（1）顶点在三角形的一个顶点上．（2）一条边是三角形的一边．（3）另一条边是三角形某条边的延长线．三角形外角的特征外角ABCD三角形的外角与它不相邻的内角有什么关系？怎样来证明？内外角是相对而言∠ACD＝∠A＋∠B（1）用剪刀分别把∠A、∠B剪下拼到∠ACD上；（2）用量角器分别量出∠A、∠B、∠ACD的度数；比较∠A+∠B与∠ACD的大小，你有何发现？ABCD12如图，△ABC中，∠A=72º，∠B＝68º，求∠ACD的度数．ABCD解：∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－（180°－∠A－∠B）＝∠A＋∠B＝72°＋68°＝140°．练一练1．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．知识要点已知：△ABC，∠ACD是它的一个外角．求证：∠ACD＝∠A＋∠B;∠ACD∠A;∠ACD∠B．ACDB证明1：∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－（180°－∠A－∠B）＝∠A＋∠B．所以∠ACD∠A;∠ACD∠B．ACDB12证明2：过点C作直线CP，使CP∥BA．因为CP∥BA，所以∠1＝∠A（两直线平行，内错角相等）∠2＝∠B（两直线平行，同位角相等）因为∠ACD＝∠1＋∠2所以∠ACD＝∠A＋∠B．所以∠ACD∠A;∠ACD∠B．PACDBM证明3：过点A作直线AM，使AM∥BD．因为AM∥BD，所以∠ACB＋∠ACD＝180°,所以∠B＋（∠BAC＋CAＭ）＝180°可得∠B＋（∠BAC＋CAＭ）＝∠ACB＋∠ACD又因为∠CAM＝∠ACB所以∠B＋（∠BAC＋CAM）＝∠CAM＋∠ACD得∠B＋∠BAC＝∠ACD．所以∠ACD＝∠A＋∠B．所以∠ACD∠A;∠ACD∠B．还有没其他的证明方法？1．三角形的外角和等于它内角和的2倍．（）2．三角形的一个外角等于两个内角的和．（）3．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（）4．三角形的一个外角大于任何一个内角．（）5．三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角．（）下列说法正确吗？√×√√×ACDBE已知：如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求证：AD∥BC．证明：因为∠EAC=∠B+∠C，∠B＝∠C，所以∠EAC＝∠C+∠C＝2∠C．因为AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠CAD．所以∠CAD＝∠C．所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．求下列各图中∠1的度数．35°50°133°118°195°85°练一练105°ABCDO135°40°45°50°195°求下列各图中∠1的度数．练一练比较∠1、∠2、∠A的大小？2PABCD1∠A∠1∠2．ABC123例2：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，求：∠1、∠2、∠3的和是多少？解法1：因为∠1＋∠BAC=180°，∠2＋∠ABC=180°，∠3＋∠ACB=180°．所以∠1＋∠2＋∠3＋∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=540°又因为∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=180°所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.ABC123解法2：因为∠1＝∠ACB＋∠ABC，∠2＝∠BAC＋ACB，∠3＝∠BAC＋∠ABC．所以∠1＋∠2＋∠3＝∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＋ACB＋∠BAC＋∠ABC＝2（∠ACB＋∠ABC＋∠BAC）＝2×180°＝360°．ABC123解法3：过A作直线AP，使AP∥BC．因为AP∥BC，所以∠3＝∠QAP（两直线平行，同位角相等）∠2＝∠BAP（两直线平行，同位角相等）所以∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠BAP＋∠QAP=360°．PQABC123如图，把一个直角三角尺ACB绕着30°的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．（1）三角尺旋转了多少度？（2）连接CD，试判断△CBD的形状．（3）求∠BDC的度数．ACBEDACBED答案：（1）三角尺旋转了150°；（2）△CBD是等腰三角形；（3）∠BDC的度数为15°．1．三角形的一个外角与它相邻的内角互补；2．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；3．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；4．三角形的外角和等于360°．课堂小结1．如图，AB//CD，∠A＝30°,∠P＝28°，那么∠C等于（）A．30°B．28°C．58°D．63°PABQCDC随堂练习2．如图，AB//CD，AD、BC相交于O点，若∠BAD＝30°，∠BOD＝75°，则∠C的度数是（）A．30°B．45°C．105°D．76°ABOCDB3．∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．ADECFB360°4．求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．180°．ABCDEMNOPQ提示：连接MN、NO、OP、PQ、QM．5．如图，试计算∠BOC的度数．D提示：作辅助线OD．因为∠ODC＝∠A＋∠B＝90°＋15°＝105°．所以∠BOC＝∠C＋∠ODC＝35°＋105°＝140°．90º35º15ºABCO