11.2.1三角形的内角和(优质课)获奖

三角形的内角和同学们，你们知道“三角形内角和等于180度”这个结论最早是谁提出的吗？数学史话帕斯卡：（1623—1662）法国著名的数学家方法：度量、剪拼、折叠问题1在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．实验操作，探究新知BAC任意画一个三角形，测量三角形的三个内角并求和，你有什么发现？三角形三个内角的和是180̊12BAC已知：如图,△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA，则∠2=∠A（两直线平行，内错角相等），∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）。∵∠1+∠2+∠ACB=180°（1平角=180°），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）。BAC12DE①过三角形一个顶点，用构造平角将三个角化归为平角来证明定理那这个点是任意的吗？请同学们思考然后分小组讨论。（1）思维能力训练21ABCDE三角形的边上三角形内部三角形外部归纳结论已知：如图,△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：过点A作射线DE∥BC，则∠2=∠C（两直线平行，内错角相等），∠1=∠B（两直线平行，内错角相等）。∵∠1+∠2+∠BAC=180°（1平角=180°），∴∠A+∠B+∠BAC=180°（等量代换）。21ABCDE②这个点在三角形的边上如何？C21AB3EFD已知：△ABC求证：∠A＋∠B＋∠C=180̊证明：在△ABC边上任取一点D，过点D做直线DF∥AB,DE∥AC;∵AB∥DF(已知）∴∠B=∠1（两直线平行，同位角相等）∴∠A=∠DFC（两直线平行，同位角相等）∵DE∥AC（已知）∴∠C=∠2（两直线平行，同位角相等）∴∠DFC=∠3(两直线平行，内错角相等）∴∠A=∠3(等量代换）∵∠1＋∠2＋∠3=180̊（平角定义）∴∠A＋∠B＋∠C=180̊C21AB3EFD③这个点能否为三角形内部任意一点。C24AB3EQDFPGH1已知：△ABC求证：∠A＋∠B＋∠C=180̊证明：在△ABC内部任取一点D，过点D做直线EF∥BC,GQ∥AB;PH∥AC;∵EF∥BC(已知）∴∠B=∠1（两直线平行，同位角相等）∴∠C=∠3（两直线平行，同位角相等）∵QG∥AB（已知）∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）∴∠A=∠DQF（两直线平行，同位角相等）∵PH∥AC（已知）∴∠PDQ=∠DQF(两直线平行，内错角相等）∴∠3=∠4(两直线平行，同位角相等）∵∠B=∠1∠1=∠2∴∠B=∠2（等量代换）∵∠C=∠3∠3=∠4∴∠C=∠4（等量代换）∵∠A=∠DQF∠PDQ=∠DQF∴∠A=∠PDQ（等量代换）∵∠2＋∠4＋∠PDQ=180̊（平角定义）∴∠A＋∠B＋∠C=180̊C24AB3EQDFPGH1④如果这个点运动到三角形的外部呢？PBGC24A3EDFH1已知：△ABC求证：∠A＋∠B＋∠C=180̊证明：在△ABC外部任取一点D，过点D做直线DE∥BC,DG∥AB;DE∥BC;∵EF∥BC(已知）∴∠B=∠1（两直线平行，同位角相等）∴∠C=∠3（两直线平行，同位角相等）∵DG∥AB（已知）∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）∴∠A=∠AFD（两直线平行，内错角相等）∵DH∥AC（已知）∴∠3=∠4(两直线平行，同位角相等）∴∠AFD=∠HDP(两直线平行，同位角相等）∵∠B=∠1∠1=∠2∴∠B=∠2（等量代换）∵∠C=∠3∠3=∠4∴∠C=∠4（等量代换）∵∠A=∠AFD∠AFD=∠HDP∴∠A=∠HDP（等量代换）∵∠2＋∠4＋∠HDP=180̊（平角定义）∴∠A＋∠B＋∠C=180̊BGC24A3EDFH1P三角形三个内角的和等于180̊三角形内角和定理：（2）基础知识巩固训练1、求出下列图形中x的值：（教材P16）39̊108̊x̊x̊x̊x̊72̊x̊(x̊-36̊)x̊+36̊x̊x̊2.（1）如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是()A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、钝角或直角三角形A（2）在△ABC中，A、30°B、60°C、90°D、120°C3、在△ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°。求△ABC各内角的度数解：∵∠B＝∠A+10°,∠C＝∠B+10°(已知）∴∠C=∠A+10°+10°＝∠A+20°∵∠A+∠B+∠C＝180°∴∠A+（∠A+10°）+（∠A+20°）＝180°∴∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°4、一个直角三角形最多有几个直角？一个三角形最多有几个钝角？至少有几个锐角？请证明你的结论。一个直角三角形最多有一个直角，一个三角形最多有一个钝角，至少有两个锐角。5.已知：在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。CC40114020.22BACADABCBADBAC由，是△的角平分线，得解：180180180752085()ABDBADBBADADBBBAD三角形内角和,定理在△中6.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？北东西南F.AD.CB.E50°80°40°北东西南北东西南（图中AD∥BE）30°HA.C.D50°80°北东西南30°B.E40°北东西南FA.C.D50°北东西南B.E40°北东西南A.C.D50°北东西南B.E40°北东西南HA.C.D50°北东西南B.E40°北东西南(3）能力提高训练1.在△ABC中，如果∠A=∠B－∠C,那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形2.锐角三角形任意两个内角的和必大于（）A.90°B.100°C.110°D.120°拓展：三角形和锐角三角形最大的角的取值范围分别是？3.如图，△ABC中，∠B=∠ACB,CD是高，求证2∠BCD=∠AABCDBA证明:在△ABC中,∠A=180°－(∠B+∠ACB)∵∠B=∠ACB∴∠A=180°－2∠B=2(90°－∠B)在Rt△BCD中,∠BCD=90°－∠B.∴2∠BCD=∠A[60°，180°）[60°，90°）4.如图，在△ＡＢＣ中，AD⊥BC，垂足为D，AE是∠BAＣ的平分线，交BC于E（∠B＞∠C）。（1）若∠C=45°，∠B=65°，求∠DAE的度数；（2）试写出∠DAE与∠B和∠C之间的关系式。ABCDE解：⑴∵∠C=45°，∠B=65°，∴∠BAC=70°AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=35°∴∠AED=180°－65°－35°=80°∵AD⊥BC∴∠ADE=90°，∠DAE=10°⑵∠DAE=（∠B－∠C）21谢谢各位光临欢迎大家指导