1.2集合间的基本关系

1.2集合间的基本关系(第一课时)实数有相等关系、大小关系，如5＝5，5＜7，5＞3，等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系？思考•观察下列各组集合中A与B之间的关系？(1)A＝｛－1，1｝，B＝｛－1，0，1，2｝;(2)A=N,B=R;(3)A={x|x为北京人｝，B={x|x为中国人｝.集合A的任意一个元素都是集合B的元素.（若a∈A，则必有a∈B）1.子集的定义如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若a∈A，则a∈B），则称集合A为集合B的子集.记为BA或ABBA•下列集合A、B中，集合A是B的子集吗？(1)A＝｛－1，1，0｝，B＝｛－1，0，1｝;{2,1,0},{|||,}AByyxxR(2)2{|10},{1,0,1}AxRxB(3)练习11.若A={1，2，3}则（）A、1AB、1AC、{1}AD、{1}AD2.已知集合A={－4，－1，m}，集合B={－4，5}，若BA，则实数m=（）53.____________NNZQR4.,,____.ABBCAC若则①子集的传递性！子集的性质②任何一个集合是它本身的子集，即AA③空集是任何集合的子集所以，不能说A是B中的部分元素所组成的集合！！2、真子集•对于两个集合A与B，如果AB，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集。读着“A真包含于B，B真包含A”。•记作AB，或BA提问：（1）写出N，Z，Q，R的包含关系，并用Venn图表示QZNR•(1)集合A是集合B的真子集，即A是B的子集，并且B中至少存在一个元素A的元素；•(2)子集包括真子集和相等两种情况；•(3)空集∅是任何集合的真子集；不是说明：非空A（B）3、等集•对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A＝B。•如果AB，同时BA，那么A＝B。•空集是任何集合的子集。•空集是任何非空集合的真子集。•任何一个集合是它本身的子集。•对于集合A，B，C，如果AB且BC，那么AC。•如果AB，同时BA，那么A＝B。1、判断下列写法是否正确①A③AA②A④AA①A③AA②A，A解析：2、下列命题正确的有几个（1）空集没有子集；（2）任何集合至少有两个子集；（3）空集是任何集合的真子集；（4）若的元素个数为零A.0B.1C.2D.3B（空集是任何非空集合的真子集）3、下列写法中正确的是（）0605430201）；（）；（）（；）；（）；（）（3、4、6()(1)..AA任何一个集合是它本身的子集，即.CCC).2(ABBABA那么且，如果、、对于集合(3).CC.ABABBAC对于集合、、，如果且那么(4).CC.ABABBAC对于集合、、，如果且那么(5).CC.ABABBAC对于集合、、，如果且那么(6).CC.ABABBAC对于集合、、，如果且那么【课堂小结】（1）子集与真子集符号的方向。不同与同义；与如BABAABBA（2）易混符号①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如：1N，—1N，ΦR，{1}{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合。如：Φ{0}。不能写成Φ={0}，Φ∈{0}【注意点】1.2集合间的基本关系(第二课时)•1．学习子集的概念要特别注意概念中“任何一个元素”而不是某些元素．•2．正确区别各种符号的含义．•(1)∈与⊆的区别•∈表示元素与集合之间的关系，因此有1∈N，－1∉N等；⊆和表示集合与集合之间的关系，因此有N⊆R，∅R等，要正确区分属于和包含关系．•(2)a与{a}的区别•一般地，a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素a的集合，因此有1∈{1,2,3},0∈{0}，{1}{1,2,3}，a∈{a，b，c}，{a}⊆{a，b，c}．•(3)空集是集合中的特殊现象，A⊆B包括A＝∅的情形容易漏掉，解题时要特别留意．(空集优先)•(4){0}与∅的区别•{0}是含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，因此有∅{0}，∅＝{0}与∅∈{0}都是错误的．要正确地判断元素与集合，集合与集合之间的关系．•3．正确地理解子集、真子集的概念•如果A是B的子集(即A⊆B)，那么有A是B的真子集(AB)或A与B相等(A＝B)两种情况．“AB”和“A＝B”二者必居其一．反过来，A是B的真子集(AB)也可以说A是B的子集(A⊆B)；A＝B也可以说A是B的子集(A⊆B)．要注意A⊆B与B⊇A是同义的，而A⊆B与B⊆A是不同的．•4．用Venn图表达集合与集合之间的关系直观、方便，尤其是抽象集合之间关系的问题，常用Venn图求解．1.（1）分别写出下列各集合的子集及其个数：，{a}，{a，b}，{a，b，c}.（2）由（1）猜想：当集合M中含有n个元素时，则集合M有多少个子集?解：写时应注意空集优先、按照顺序来。（1）的子集：，即1个子集；{a}的子集：，{a}，即2个子集；{a，b}的子集：，{a}，{b}，{a，b}，即4个子集；{a，b，c}的子集：，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，即8个子集。（2）由（1）可知，当n=0时，有1=个子集；当n=1时，有2=个子集；当n=2时，有4=个子集；当n=3时，有8=个子集。………因此，含有n个元素的集合M有个子集。021222322n★集合M中有n个元素，则集合M有个子集，有个真子集。2nn212.已知{1,2}A{1,2,3,4}，写出所有满足条件的集合A。3.用适当的符合填空(1)a____{a}(2){1,3,5,7}____{3,5}(3){a}______{a,b,c}(4)d____{a,b,c}(5){a,b}____{b,a}(6)a____{a,b,c}(7)3____(8)____{1,2,3}33xx{1，2}{1，2，3}{1，2，4}{1，2，3，4}∈=∈4.设集合A={x|1≤x4}，B={x|x－a0}若A是B的真子集，求实数a的取值范围。利用数轴一目了然！{a|a≥4}{34}{521.1}AxxBxmxmBAm已知集合，且，求实数的范围.思路点拨：讨论B是否为空集→（借助数轴）列不等式→求得m的取值范围。B是否为空集2m－1≥m＋1m≥2B是不为空集1211412213mmmmm验证等号是否满足实数m的范围为{m∈R|m≥－1}[例1]设a＝2＋3，M＝{x|x≤10}，给出下列关系；①a⊆M；②M⊇{a}；③{a}∈M;④{∅}∈{a}；⑤2a∉M；其中正确的关系式共有()A．2个B．3个C．4个D．5个[分析]解题的关键是确定出a与的大小，正确使用“属于”、“包含”等符号．10A[解析]a2＝5＋26＝5＋24＜5＋5＝(10)2，∴a＝2＋3＜10，∴a是集合M中的一个元素，又2a＞10，∴2a不是集合M中的元素，而元素与集合之间的关系应由“属于或不属于”来描述，∴①是错误的，⑤是正确的；再由{a}是以a为元素的集合，{∅}表示的是以∅为元素的集合，且集合与集合之间的关系由“包含或不包含”来描述，从而可以判定③、④错误，②正确．正确选项应为A(1)∵A＝{奇数},4n±1(n∈Z)必是奇数，∴B⊆A.又∵当m为偶数时，设m＝2n(n∈Z)，则2m－1＝4n－1；当m为奇数时，设m＝2n＋1(n∈Z)，则2m－1＝4n＋1.由此可见，不论m是何整数，2m－1∈B.故A⊆B.综上所述，A＝B.[例2]判定下列集合之间是否具有包含或相等关系：(1)A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝4n±1，n∈Z}，(2)A＝{x|x＝－a2－4，a∈R}，B＝{y|y＝－b2－3，b∈R}，(2)∵－a2－4≤－4，－b2－3≤－3，∴A＝{x|x≤－4}，B＝{y|y≤－3}．∴AB.•(3)∵若x＞0，y＞0，则必有x＋y＞0，∴B⊆A.•又∵若x＝－1，y＝2时，x＋y＞0，∴(－1,2)∈A.•又∵x＝－1＜0，∴(－1,2)∉B，∴BA.(3)A＝{(x，y)|x＋y＞0，x∈R，y∈R}，B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x，y∈R}．•总结评述：①如果要证明A＝B，只要证明A⊆B与B⊆A同时成立即可．•②已知A⊆B，证明AB，并不需要将属于B而不属于A的所有元素无一遗漏地全部列出，只要举出一个即可．同理要说明A⊆B成立，须给出严格的证明过程，但要说明A⊆B不成立，只要能找出一个元素x0∈A，但x0∉B即可．•③注意集合表示的意义，它与表示集合时所采用字母的名称无关．•[例3]已知M＝{x|x＞1}，N＝{x|x＞a}，且MN，则()•A．a≤1B．a＜1•C．a≥1D．a＞1•[分析]为了形象直观地表示集合的关系．可借助数轴，让a在x轴上运动，通过观察归纳M与N的关系，进而得出1与a的关系．•[解析]随着a在x轴上运动，集合N也在变化，满足MN的情况如图，显见a＜1，故选B.•已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}•(1)若B⊆A，则a的取值范围是________；•(2)若A⊆B，则a的取值范围是________；•(3)若AB，则a的取值范围是________；•(4)若A＝B，则a的值是________．3}3|{aa}3|{aa}3|{aa•[例4]设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的值．[分析]B⊆A包括B＝A与BA两种情形．当B＝A时，集合B中一元二次方程有两实根0和－4；当BA时，有B＝∅或B中一元二次方程有两相等实根0(或－4)．[解析]A＝{－4,0}1°若B＝A，则－4,0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，∴a＝1.2°若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，∴a＜－1，3°若B中只有一个元素，则Δ＝0，∴a＝－1，经验证a＝－1时，B＝{0}满足．综上所述a＝1或a≤－1.•[点评]①BA时，容易漏掉B＝∅的情况；•②B＝{0}或{－4}易造成重复讨论，应直接由Δ＝0，求得a值再验证BA是否成立；•③分类讨论应按同一标准进行．•本题解答中，实际是按Δ0，Δ＝0，Δ0讨论B中方程解的情况的．Δ0对应B＝A；Δ＝0对应B＝{0}或B＝{－4}；Δ0对应B＝∅.•若非空集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且B⊇A，求p、q满足的条件．[解析]因为B＝{1,2}，A⊆B，A≠∅.∴A＝{1}，{2}或{1,2}．(1)A＝{1,2}时，p＝－3，q＝2；(2)A＝{1}时，p＝－2，q＝1；(3)A＝{2}时，p＝－4，q＝4.•[例5]已知集合A＝{x，xy，x－y}，集合B＝{0，|x|，y}，若A＝B，求实数x，y的值．[分析]有限集合的相等，即集合中的元素一一对应相等，可以由此建立关于x、y的方程组来解决问题．[解析](1)∵0∈B，A＝B，∴0∈A，又由集合中元素的互异性，可以断定|x|≠0，y≠0，∴x≠0，xy≠0，故x－y＝0，即x＝y，此时A＝{x，x2，0}，B＝{0，|x|，x}，∴x2＝|x|，当x＝1时x2＝1矛盾，∴x＝－1，∴x＝y＝－1.•*•(江苏苏北四市2010模拟)已知集合A＝{0，2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0，1，2，4}，则实数a的值为______．[答案]2[解析]∵A∪B＝{0，1，2，4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4，则a2＝16，但16∉A∪B，∴a2＝4，∴a＝±2，•又－2∉A∪B，∴a＝2.•[例6]若集合