第一课同济大学高等数学上预备知识

预备知识1.集合的概念在数学中，把具有某种特定性质的事物组成的总体称;aA否则，记为.aA一、集合如果元素在集合中，记为aA为一个集合.集合中的事物称为该集合的元素.只有有限个元素的集合称为有限集，否则称为无限集.常用数集:自然数集:0,1,2,,,Nn整数集:0,1,2,,,Zn有理数集:*,pQpZqZq复数集:2,,1CabiabRi2.集合的运算集合的交:ABxxAxB且集合的并:ABxxAxB或集合的差:\ABxxAxB但设是两个集合，由此定义如下几个集合：,AB集合的运算满足如下运算率：交换率:,ABBAABBA结合率:,ABCABCABCABC分配率:,ABCACBC.ABCACBC3.区间和邻域开区间:,;abxaxb闭区间:,;abxaxb设是实数，且,ab,ababxabx半开半闭区间:,;abxaxb(,];abxaxbabxabx[,)axax无穷区间:(,).xx注意：无穷端不能写成闭的记号(,)axaxxaxax(,)Uaxxa设是实数，且则定义点的邻域为集合：,a0,a邻域：|xaxa,aaaaxa(,)0Uaxxa如果把邻域的中心去掉，所得到的集合称为点的空a心邻域：,,aaaa|,xaxaxaaaxa1.映射的概念().yTx二、映射设是两个非空集合，如果存在一个法则使得,XY,T:.TXY而元素称为的象，记作，即yxTxX,xYy对中的每个元素按此法则在中有唯一的元素TXY与之对应，那么称为从到的映射，记作XYT()TX,2,XYTxxtan2XYTxx例设1,2,3,2,4,6,8,XY则是到的映射.TXY例设1,1,,,XY则是到的映射.TXY2.几类重要映射一一对应：既单又满的映射称为一一对应.例在前面的两例中，例2是一一对应，而例1则不是.设是到的映射.TXY满射：若即使得,YTX,,yYxX.yTx单射：若则必有12,xx12.TxTx3.逆映射与复合映射则：12YXTyy逆映射：设是到的一一映射，则对中任一元素TXYY,y例设2XYTxx1,2,3,2,4,6,XYX,x,Txy可以确定中的唯一元素满足称此对应T1.T关系为映射的逆映射，记为21,.[()]XZTxTTx复合映射：设有映射其中1122:,:,TXYTYZ称此映射为由构成的复合映射，记为12,TT21.TTX1Y2YZ12,YYXZ,T由此可以确定一个从到的映射1,sin,XYTxx22,,YZTyy2,(sin).XZTxx例：设,1,1,0,1,XRYZ则复合映射为21TT1.概念(,)(),,xyyfxxD三、一元函数从数集到实数集的任一映射称为定义在上的DRfD称为的图象.而数集则称为函数yfxDyfx.yfxRR一元函数，通常记为而中的集合的定义域.注：在以后的讨论中，更多的是函数的定义域以默认的例则定义域为211,1yxx例则定义域为1,yx,1.1,11,.方式给出，即定义域为使表达式有效的一切实数.以下例中函数的定义域均为实数集。10,sgn00,10.xyxxx例3符号函数sgn,yxxysgnyxO例取整函数.yx12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyO2.函数的几种特性有界yxOMM无界MMyxO有界性设函数的定义域为数集,XDyfx,Df如果都有就称0,M,xX,fxM在上有界,否则称为无界函数.XxyOsinyxxyOtanyx1122例在上是有界函数，sinyx,在上无界.tanyx,22域内是无界函数.例试说明函数在的任何空心邻11sinfxxx0x现设，取，0M012/2xn其中取的正整数，122nM0.fxM解只要证明在的任何空心邻域内，无论对怎样的0x正数，总是存在该邻域内一点，使得0M0x并且使得在空心邻域内，0x则02,2fxnM所以无界.fxOxy11sinyxx单调性设函数的定义域为区间,Dfx,ID如果对任意的当时，总有12,,xxI12xx12,fxfx则称函数为区间上的单调增加函数；Ifx如果时，总有12xx12,fxfx则称函数为区间上的单调减少函数.Ifx图形特征：yfx1xxyO2x1fx2fxyfx1xxyO2x1fx2fx单调增加函数图形单调减少函数图形奇偶性设函数的定义域为关于原点对称，Dfx如果对任意的都有,xDfxfx就称为偶函数；fx如果对任意的都有,xDfxfx就称为奇函数.fx图形特征：偶函数奇函数yfxxxyOxyfxxxyOx,xD,xTD使得对任意的当总有通常我们说的周期指的是最小正周期.周期函数设函数的定义域为如果存在数,Dfx0,TfxTfx就称为周期函数，称为的周期.Tfxfx例如，的最小正周期是sinfxx2.xyOsinyx2344322222例：狄利克雷函数则任何非零有理数都是其周期，但没有最小正周期.1,()0,xQDxxQ3.反函数和复合函数反函数设函数是一一对应，则其逆映:fDfD注：习惯上用表示为自变量，所以函数的xyfxf1:ffDD射为的反函数.1xfy1.yfx的反函数仍表示为注：函数与它的反函数的图形yfx1yfx关于对称.yxxyOyxyfx1yfx00,xfx00,fxx复合函数复合函数本质上是复合映射在函数上的推广.当复合映射定义中的几个集合均为数集时，即得到复合函数的定义.4.基本初等函数yxO⑴幂函数（是常数）yx11yxyx2yx3yx1yx(1)xyaa(01)xyaa1⑵指数函数0,1.xyaaayxO⑶对数函数log0,1.ayxaayxOlog(1)ayxalog(01)ayxa1⑷三角函数①正弦函数sin.yxxyOsinyx2344322222cosyx②余弦函数/2xyOcosyx3/23/2/22③正切函数tan.yxxyO2232523252cotyx④余切函数xyO2233tanyxcotyx⑤正割函数1sec.cosyxx1csc.sinyxx⑥余割函数secyxcscyxxyO2232523252xyO2233⑸反三角函数①反正弦函数arcsin.yxarcsinyx1xyO122②反余弦函数arccos.yx1xyO1arccosyx③反正切函数arctan.yxarctanyxxyO22arccotyxxyO④反余切函数arccot.yx5.初等函数由常数函数及基本初等函数经有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的函数称为初等函数.6.双曲函数最后再简单介绍在工程技术中经常用到的一类函数⑴双曲正弦函数eesinh.2xxyx⑵双曲余弦函数eecosh.2xxyx——双曲函数.-2-112X-3-2-1123Yeesinh2xxyxeecosh2xxyx