4.3空间直角坐标系-教案

2011.11.26必修二空间直角坐标系第1页共6页空间直角坐标系教学目标：通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法；掌握空间两点的距离公式由来，及应用。教学重点、难点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标；空间两点的距离公式的推导及其应用。空间直角坐标系平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？一个点在平面怎么表示？在空间呢？如图，OBCD-D’A’B’C’是单位正方体.以A为原点，分别以OD,OA’,OB的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.1）叫做坐标原点2）x轴，y轴，z轴叫做坐标轴.3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。有序实数组空间中一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标思考：原点O的坐标是什么？讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程。例题1：在长方体OBCD-D’A’B’C’中，|OA|=3,|OC|=4,|OD’|=2写出D’，A’，B’，C四点坐标.2011.11.26必修二空间直角坐标系第2页共6页建立空间坐标系写出原点坐标各点坐标。解：D′在z轴上，且OD′=2，它的竖坐标是2；它的横坐标x与纵坐标y都是零，所以点D′的坐标是(0，0，2).点C在y轴上，且OD′=4，它的纵坐标是4；它的横坐标x与竖坐标z都是零，所以点C的坐标是(0，4，0).同理，点A′的坐标是(3，0，2).点B′在xOy平面上的射影是B，因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y相同.在xOy平面上，点B横坐标x=3，纵坐标y=4；点B′在z轴上的射影是D′，它的竖坐标与点D′的竖坐标相同，点D′的竖坐标z=2.所点B′的坐标是(3，4，2)讨论：若以C点为原点，以射线BC、CD、CC1方向分别为ox、oy、oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？（得出结论：不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同。）例2结晶体的基本单位称为晶胞，图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为1/2的小正方体堆积成的正方体)，其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子.如图，建立空间直角坐标系O–xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标.解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标，下层的原子全部在xOy平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，(1/2,1/2,0)；中层的原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为1/2，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是(1/2,01/2),(1,1/2,1/2)，(1/2,1,1/2),(0,1/2,1/2)；上层的原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，1)，(1，0，1)，(1，1，1)，(0，1，1)，(1/2,1/2,1).练习1如图，长方体OABC–D′A′B′C′中，|OA|=3，|OC|=4，|OD′|=3，A′C′于B′D′相交于点P.分别写出点C、B′、P的坐标。2011.11.26必修二空间直角坐标系第3页共6页解：C、B′、P各点的坐标分别是(0，4，0)，(3，4，3)，(3/2,2,3)练习2V-ABCD为正四棱锥，O为底面中心，若AB=2，VO=3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标。练习3已知M(2,-3,4)，画出它在空间的位置。练习4建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标。例3如图，长方体OABC–D′A′B′C′中，OA=3，OC=4，OD′=3，A′B与AB′相交于点P，分别写出点C、B′、P的坐标.解C在y轴正半轴上，坐标C(0，4，0)，B′的横坐标与A点相同，纵坐标与C点相同，竖坐标与D′点相同，所以B′（3，4，3）.P为正方形的对角线交点，坐标为(1,1/2,1/2).点的对称点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标.(1)与点M关于x轴对称的点(x,-y,-z)(2)与点M关于y轴对称的点(-x,y,-z)(3)与点M关于z轴对称的点(-x,-y,z)(4)与点M关于原点对称的点(-x,-y,-z)(5)与点M关于xOy平面对称的点(x,y,-z)(6)与点M关于xOz平面对称的点(x,-y,z)(7)与点M关于yOz平面对称的点(-x,y,z)2011.11.26必修二空间直角坐标系第4页共6页例4如图，正方体ABCD–A1B1C1D1，E、F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，求点E、F的坐标和B1关于原点D的对称点坐标.空间两点间的距离公式在平面上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离的公式为|AB|=221212()()xxyy，那么对于空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间的距离的公式会是怎样呢？如果|OP|是定长r，那么x2+y2+z2=r2表示什么图形？如果是空间中任间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样呢？|P1P2|=222121212()()()xxyyzzΔM1PQ和ΔMQM2都是直角三角形，根据勾股定理,222121)()(QMQMMMd,)(21dQM代入把22221)()()(QMPQPMd得。12121,xxPQyyPM又因,122zzQM，从而得两点的距离公式:212212212)()()(zzyyxxd例1在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：（1）A(2，3，5)，B(3，1，4)；（2）A(6，0，1)，B(3，5，7)解（1）6，图略（2）70，图略例2在z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，–3，1)的距离相等.解设点M的坐标是(0，0，z).依题意，得22(01)0(2)z=222(01)(03)(1)z解得z=–3.所求点M的坐标是(0，0，–3).222||(42)(14)(93)7BC，222||(102)(14)(63)98AC.因为7+7＞98，且|AB|=|BC|，所以△ABC是等腰三角形.2011.11.26必修二空间直角坐标系第5页共6页例4如图，正方体OABD–D′A′B′C′的棱长为a，|AN|=2|CN|，|BM|=2|MC′|.求MN的长。解：由已知，得点N的坐标为2(,,0)33aa，点M的坐标为2(,,)33aaa，于是22222||()()(0)33335.3aaaaMNaa练习1已知点A在y轴，点B(0，1，2)且||5AB，则点A的坐标为.解：由题意设A(0，y，0)，则2(1)45y，解得：y=0或y=2，故点A的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)练习2坐标平面yOz上一点P满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A(3，2，5)，B(3，5，2)的距离相等，求点P的坐标.解：由题意设P(0，y，z)，则2222222(03)(2)(5)(03)(5)(2)yzyzyz解得：11yz故点P的坐标为(0，1，1)练习3在yOz平面上求与三个已知点A(3，1，2)，B(4，–2，–2)，C(0，5，1)等距离的点的坐标.解：设P(0，y，z)，由题意||||||||PAPCPBPC所以222222222222(03)(1)(2)(00)(5)(1)(04)(2)(2)(00)(5)(1)yzyzyzyz2011.11.26必修二空间直角坐标系第6页共6页即4607310yzyz，所以12yz，所以P的坐标是(0，1，–2).练习4已知三角形的顶点为A（1，2，3），B（7，10，3）和C（-1，3，1）。试证明A角为钝角。例4如图，在正方体ABCD-A`B`C`D`中，点P、Q分别在棱长为1的正方体的对角线BD`和棱CC`上运动，求P、Q两点间的距离的最小值，并指出此时P、Q两点的位置.例3在四棱锥P-ABCD中，已知PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AD，E是侧棱AC的中点，F是对角线BD上的动点，试建立适当的空间直角坐标系.(1)写出P,A,B,C,D,E的坐标；(2)求|EF|的最小值.空间两点中点坐标公式设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点M的坐标是：121212(,,)222xxyyzzM+++