空间向量基本定理49454共21页

空间向量的基本定理共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa。1、共线向量定理和平面向量基本定理的内容是什么？2、这两个定理是如何推导的？平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使.a=λ1e1+λ2e2共面向量定理：byaxcyxbacba使得存在唯一的一对实数共面向量与不共线，则向量如果两个向量,,,,，Obac共面向量也称线性相关。回顾复习分析说明：共线向量定理是在一维空间中利用向量平移得到的，而平面向量基本定理是在二维空间中借助与向量加法的平行四边形法则推导的，空间向量基本定理是在三维空间中研究的。所以请同学们猜想：如果在空间中有不共面的三个向量a、b、c，对于空间中任意一个向量p，如何用这三个向量表示出来？新课讲解（空间向量基本定理）问题1：右图中的向量是不共面的三个向量，请问向量与它们是什么关系？由此可以得出什么结论？ABAD'AA'AC得出的结论是：''AAADABACAD'A'CC'BB'D新课讲解（空间向量基本定理）问题1：右图中的向量是不共面的三个向量，请问向量与它们是什么关系？由此可以得出什么结论？ABAD'AA'ACAD'A'CC'BB'DC'新课讲解（空间向量基本定理）AB问题2：如果向量、、分别和向量a、b、c共线，能否用向量a、b、c表示向量？ABAD'AA'AC．OAP′A′CBB’PpOPcOCbOBaOAOcba，，，作过空间一点是三个不共面的向量，设过点P作直线PP′∥OC，交平面OAB于点P′；在平面OAB内，过点P′作直线P′A′∥OB，P′B′∥OA，分别交直线OA，OB于点A′，B′。延长OC至C′,使OC′=PP′,根据向量共线的条件，存在三个确定的实数x，y，z，使zcCOybBOxaAO，，COBOAOOPzcybxa所以C’新课讲解（空间向量基本定理）空间向量基本定理：新课讲解（空间向量基本定理）如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p＝xa+yb+zc．唯一性证明：设另有一组实数x’、y’、z’，使得p＝x’a+y’b+z’c，则有：xa+yb+zc＝x’a+y’b+z’c，∴(x－x’)a+(y－y’)b+(z－z’)c＝0。∵a、b、c不共面，∴x－x’＝y－y’＝z－z’＝0，即x＝x’且y＝y’且z＝z’。故实数x、y、z是唯一的。空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p＝xa+yb+zc．新课讲解（空间向量基本定理）说明：①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量。（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面）③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量。由上述定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成，我们把｛a、b、c｝叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量。zOyx空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p＝xa+yb+zc．新课讲解（空间向量基本定理）推论：设O、A、B、C是不共面的四个点，则对空间任一点P，都存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使OCzOByOAxOP。＋＋＝，使得，，数组，都存在唯一的有序实则对空间任一点是不共面的四点，、、、推论：设OCzOByOAxOPz)yx(PCBAO推论说明：1、可以根据空间向量的基本定理确定空间任意一点的位置。这样，就建立了空间任意一点与惟一的有序实数组（x、y、z）之间的关系，从而为空间向量的坐标运算作准备，也为用向量方法解决几何问题提供了可能。2、推论中若x+y+z=1，则必有P、A、B、C四点共面。题型一：正确理解基底的概念例1：已知向量｛a、b、c｝是空间的一个基底，从a、b、c中选哪一个向量，一定可以与向量p＝a+b，q＝a-b构成空间的另一个基底？解：向量c与a+b，a-b一定构成空间的一个基底，否则，假设c与a+b，a-b共面，于是c、与a、b共面，这与已知矛盾。典例分析aba+ba-b题型二：空间向量基本定理及推论的应用例2：已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，切使MG=2GN，用基向量、、表示。典例分析OAOBOCOGMNABCOG解：在△OMG中，MGOMOGMNOA3221)(3221OMONOAOCOBOA313161ABCDA'B'C'D'abcMN3,,,,,,,,,.ABCDABCDABaADbAAcMACNBCabcMN例如图在平行六面体中是的中点是的中点用表示CNCCCMMN　因为解)(212121baACCACMcCCbCBCN2121cabcbaMN2121)(21所以ABCDA'B'C'D'abcMN.,,,,111111111CACBDDABDCBAABCD、为基底表示以中在长方体如图练习C1DA1BCAD1B1CCCBBACA111111:解DDCBAB111111DDCBABppt-to-video小结练习⒈空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了以“项”.证明的思路、步骤也基本相同．⒉空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．课堂练习课本P36练习课后作业课本P38习题2-38.B3.谢谢大家！END