概率习题课一

概率论第一章习题课主要内容例题选讲概率论概率论集合论样本空间（必然事件）Ω全集不可能事件Φ空集Φ事件的包含A⊂B子集A⊂B和事件A∪B并集A∪B积事件A∩B交集A∩B差事件A-B差集A-B对立事件补集AA概率论概率的公理化定义,E设是随机试验是它的,AP,赋予一个实数的每一个事件对于样本空间AE:,A件如果它满足下列三个条的概率称之为事件;01AP非负性21;P规范性,,,321有对于两两互斥事件AA2121APAPAAP可列可加性二、概率的定义与性质概率论1性质0.P2性质,,,,21则两两互斥设有限个事件nAAA1212.nnPAAAPAPAPA3性质,有对于任何事件A.1APAP4性质,,则且为两事件、设BABABPAPBAP并且.BPAP概率的性质概率论5性质,都有对于任一事件A.1AP6性质,,则为任意两个事件设BAABPBPAPBAPCBAPABPCPBPAPABCPBCPACP概率论称这种试验为等可能随机试验或古典概型.若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同.APA包含的基本事件数中的基本事件总数三、古典概型古典概型中事件A的概率的计算公式:概率论设A、B是两个事件，且P(B)0,则称)()()|(BPABPBAP1.条件概率的定义为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.四、条件概率概率论2)从加入条件后改变了的情况去算2.条件概率的计算1)用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0概率论若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)五、乘法公式若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)概率论,E设试验的样本空间为nBBB,,,21,01,2,,,iPBin为的一个划分且则对,恒有样本空间中的任一事件AniiiB|APBPAP1六、全概率公式概率论njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(｜｜ni,,,21七、贝叶斯公式,E设试验的样本空间为12,,,nAAA为样本空间的一个划分,B为Ω中的任一事件,且P(B)0,则有概率论例1甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：概率论作业P231.7若W表示昆虫出现残翅，E表示有退化性眼睛，且P(W)=0.125，P(E)=0.075,P(WE)=0.025,求下列事件的频率：（1）昆虫出现残翅或退化性眼睛P(W+E)=P(W)+P(E)-P(WE)=0.175（2）昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛P(W-E)=P(W)-P(WE)=0.1（3）昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛PWE=1-PW+E=0.825概率论2(),(),().PAxPByPABz例用x,y,z表示下列事件的概率：1)()PAB2)()PAB3)()PAB4)()PAB解1)()()1()1PABPABPABz2)()()()PABPBAPBAByz3)()()()()1PABPAPBPABxz4)()()1PABPABxyz概率论例3（摸球问题）设盒中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A表示“取到一红一白”例4（分球问题）将3个球随机的放入3个盒子中去，问：每盒恰有一球的概率是多少？解设A:每盒恰有一球概率论例5（随机取数问题）从1到200这200个自然数中任取一个；(1)求取到的数能被6整除的概率；(2)求取到的数能被8整除的概率；(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率.解：设A={取到的数能被6整除}B={取到的数能被8整除}C={取到的数即能被6整除又能被8整除}N(Ω)=200,N(C)=[200/24]=8N(A)=[200/6]=33,N(B)=[200/8]=25(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25概率论例6某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.解设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报概率论作业P231.17一批产品共20件，其中5件次品，其余为正品。现从这20件产品中不放回地任意抽取三次，每次只取一件，求下列事件的概率：（1）在第一、二次取到正品的条件下，第三次取到次品（2）第三次才取到次品（3）第三次取到次品解设{i}iA第次取到正品31212331231231231235(1)()181514535(2)()201918228(3)()()()()()151455154155454312019182019182019182019184PAAAPAAAPAPAAAPAAAPAAAPAAA概率论作业P241.20设男女比例为51:49，已知在所有男子中有5%，在所有女子中有2.5%患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？解：设A=“抽中男子”，B=“抽中女子”C=“抽中色盲”(|)0.05PCA(|)0.025PCB()0.51PA()0.49PB()()(|)(|)()()(|)()(|)PACPAPACPACPCPAPCAPBPCB0.050.511020.510.050.490.025151概率论例7市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。概率论)()|()()|()()|(332211APABPAPABPAPABP0225.02103.04101.04102.0)()()()(321BAPBAPBAPBP概率论作业P241.22仓库中有10箱同一规格的产品，其中2箱由甲厂生产，3箱由乙厂生产，5箱由丙厂生产，三个厂的合格率分别为95%，90%和96%，（1）求该批产品的合格率（2）从该10箱中任取一箱，再从中任取一件，若此件是合格品，问此件产品由甲、乙、丙厂生产的概率各是多少？解123   ,,,ABBB设产品为甲、乙、丙厂生产分别为产品是合格品为1(1)|niiiPAPBPAB23595%90%96%0.94101010概率论（2）1111295%()()()1910()()()0.9494PBPABPABPBAPAPA2222390%()()()2710()()()0.9494PBPABPABPBAPAPA3333596%()()()2410()()()0.9447PBPABPABPBAPAPA概率论例8商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品概率论已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1由Bayes公式:概率论例9在一个电视节目热门游戏中，对于某问题，主持人给出分别标有A，B，C的三个答案，其中只有一个正确。假定你对问题一窍不通，只能现场猜一个。你若能给出正确答案，将赢得大奖，否则不但无奖，还会被罚下场。节目开始后，你选择答案A。在宣布正确结果前，你利用规则请主持人在剩余答案中去掉了一个错误答案B，这时，你有一个改变决定的机会（可重新选择A或者C），你是坚持原来的选择A还是改选C？（选A或C哪个获奖的概率更大？）分别表示答案是A，B，C；用D表示“主持人去掉答案B，并且B是错误的”123,,AAA解：用13()()PADPAD分析：只需计算和比较大小概率论123123,,1P(A)=P(A)=P(A)=3AAA组成了样本空间的一个划分，且1231P(),P()0,P()1,2DADADA另外，则由贝叶斯公式：1113111P()P()132P()1111301P()P()3233iiiADAADADA32()3PAD同理，选C更有可能赢大奖！