数学分析(华东师大版)上第四章4-1

返回后页前页§1连续函数的概念一、函数在一点的连续性三、区间上的连续函数二、间断点的分类返回返回后页前页定义10(),fxx设函数在点的某邻域内有定义且),()(lim00xfxfxx)1(由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续00()().fxxfx仅存在,而且其值恰为在点的函数值一、函数在一点的连续性性的，换句话说连续就是指0()fxx在点的极限不0().fxx则称在点连续返回后页前页).0(0sgnlim0fxxxxxysgn例如：处连续，在0sgn)(xxxxf这是因为xyO返回后页前页0,x在处不连续这是因为).0(0)(lim0fxfx又如：函数,0()(0),0xxfxaaxaxyO返回后页前页极限xxsgnlim0.不存在由极限的定义,定义1可以叙述为:对于任意正数e,)2(.)()(0exfxf()sgn0,fxxx函数在点处不连续这是因为00(2),0xxxx注意到式在时恒成立因此存在0,00||,xx当时有这样就得到函数f(x)在点x0可改写为0xx，.e连续的定义返回后页前页,)()(0exfxf0().fxx则称在点连续连续性的另外一种表达形式.定义20().fxx设在点的某个邻域内有定义如果0,x为了更好地刻划函数在点的连续性下面引出,0xxx设).()()()(0000xfxxfxfxfyyy对任意的存在当时0,e0,0,xx返回后页前页0:x则函数在点连续的充要条件是)3(.0lim0yx应的函数(在y0处)的增量0(),xxy这里我们称是自变量在处的增量为相返回后页前页为狄利克雷函数.证所以因为,0lim,1)(,0)0(0xxDfx).0(0)(lim)(lim00fxxDxfxx()0.fxx故在处连续注意:上述极限式绝不能写成.0)(limlim)(lim000xDxxxDxxx例1()()0,fxxDxx证明在处连续其中()Dx返回后页前页由上面的定义和例题应该可以看出:函数在点x0类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念.要求这个极限值只能是函数在该点的函数值.极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还x0连续，那么它在点x0必须要有极限(这就是说,有极限与在点x0连续是有区别的.首先f(x)在点返回后页前页定义300()()fxxUx设函数在点的某个右邻域)),()(lim()()(lim0000xfxfxfxfxxxx0()().fxx则称在点右左连续很明显,由左、右极限与极限的关系以及连续函数0既是左连续，又是右连续.点x定理4.10()fxx函数在点连续的充要条件是：f在))((0xU左邻域有定义，若的定义可得：返回后页前页例2讨论函数,0(),0xxfxxax0.x在处的连续性解因为0.fx所以在处左连续又因为,)(lim)(lim00aaxxfxx),0(0lim)(lim00fxxfxx0aaxyxyoxy0aaxy0aaxy点击上图动画演示返回后页前页0,0afx当时在处连续；综上所述,0,0afx当时在处不是右连续的；所以,0a当时，0.fx在处是右连续的0.x在处不连续0a当时，返回后页前页二、间断点的分类定义400()(())fxUx设函数在的某空心邻域内有定义.若f在点x0无定义,或者在点x0有定义但却由此,根据函数极限与连续之间的联系,如果f在点x0不连续,则必出现下面两种情况之一:或不连续点.在该点不连续,那么称点x0为函数的一个间断点返回后页前页00(i);fxx在点无定义或者在点的极限不存在等于f(x0).0(ii),fx在点有定义且极限存在但极限值却不根据上面的分析,我们对间断点进行如下分类：1.可去间断点:若0lim(),xxfxA存在0fx而在点0,(),fxA无定义或者有定义但0xf则称是的一个可去间断点.返回后页前页2.跳跃间断点：若,)(lim0Axfxx0lim()xxfxB0xf则称点为的一个跳跃间断,,AB都存在但注x0是f的跳跃间断点与函数f在点x0是否有定点.3.第二类间断点:若f在点x0的左、右极限至少可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.义无关.0.xf则称是的一个第二类间断点有一个不存在,返回后页前页证因为.一个可去间断点例3处不连续，在0x0001)(xxxf试证函数0()xfx是的所以并且是的一个可去间断点.0x()fx1xyO0lim()1(0),xfxf返回后页前页00()().AgxxFx在时，恒为的一个可去间断点那么函数注0(),gxxx对于任意函数若它在处连续，1.00(),(),gxxxFxAxx返回后页前页0()fxx义在点的值为),(lim0xfxx那么它就在点例4讨论函数1/1,0,e1()00,xxfxx在x0处是否连续？若不连续，则是什么类型的2.若点x0是的可去间断点,那么只要重新定()fxx0连续.间断点？返回后页前页10011lim()limlim0(0),e1e1yyxxxfxf所以f(x)在x0处右连续而不左连续,从而不10011lim()limlim1(0),e1e1yyxxxfxf解因为断点是跳跃间断点.连续.既然它的左、右极限都存在，那么这个间返回后页前页例510()sinxfxx试问是函数的哪一类间断解因为由归结原理可知，0011limsinlimsinxxxx与均不存在，0().xfx所以是的一个第二类间断点点？返回后页前页三、区间上的连续函数若函数f在区间I上的每一点都连续,则称f为I)(,为正整数nxycynxysin例如,以及21xy都是R上的连续函数；而函数是区间1,1xx[-1,1]上的连续函数,在处的连续分别指右连续和左连续.数在该点连续是指相应的左连续或右连续.上的连续函数.对于闭区间或半闭区间的端点,函返回后页前页如果函数f在[a,b]上的不连续点都是第一类的,:()0.xDxx试证仅在处连续复习思考题能要添加或改变某些分段点处的值).是由若干个小区间上的连续曲线合并而成(当然可一个按段连续函数.从几何上看,按段连续曲线就并且不连续点只有有限个,那么称f是[a,b]上的