北师大版八年级数学上册第6章-数据的分析(培优试题)

第六章数据的分析6.1平均数专题探究性问题1．在上学期的几次测试中,小张和小王的几次数学成绩如下表.(单位:分)平时成绩期中成绩期末成绩小张828591小王848986两人都说自己的数学成绩更好,请你想一想:（1）小张可能是根据什么来判断的?小王可能是根据什么来判断的?（2）你能根据小张的想法设计一种方案使小张的成绩比小王高吗?写出你的方案.2．教育局为了了解本地区八年级学生数学基本功情况,从两个不同的学校分别抽取一部分学生进行数学基本功比赛.其中A校40人,平均成绩为85分;B校50人,平均成绩为95分.（1）小李认为这两个学校的平均成绩为21×(85+95)=90(分).他的想法对吗?若不对请写出你认为正确的答案.（2）其他条件不变,当A校抽查的人数为多少人时,所抽查两校学生的平均成绩才是90分?（3）根据上面数据:a1,a2,…,am;b1,b2,…,bn;c1,c2,…,cp;d1,d2,…,dq.每一组数据的平均数分别为a、b、c、d.将这四组数据合并为一组数据:a1,a2,…,am,b1,b2,…,bn,c1,c2,…,cp,d1,d2,…,dq.问当m、n、p、q满足什么条件时,它的平均数为41(a＋b＋c＋d)?并说明理由.答案：1．解：(1)小王可能是根据算术平均数来判断的,小张可能是根据加权平均数来判断的.(2)参考方案:平时成绩、期中成绩、期末成绩所占的百分比分别为30%,30%,40%,这样小张的综合成绩就是86.5分,小王的综合成绩就是86.3分.2．解：(1)小李的想法不对.正确的答案为:平均成绩=40505095408590.6(分)(2)设A校抽查人数为x人,由题意可得方程:95×50＋85x=90(50＋x),解得x=50.所以当A校所抽查的人数也是50人时,两个学校的平均成绩才是90分.(3)当四组数据的个数相等时,即m=n=p=q时,a1,a2,…,am,b1,b2,…,bn,c1,c2,…,cp,d1,d2,…,dq的平均数为41(a＋b＋c＋d).理由如下:平均数=mmmmdmcmbmamqpnmdqcpbnam=41(a＋b＋c＋d).6.2中位数与众数、6.3从统计图分析数据的集中趋势专题数据代表的选择1．某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加．按团体总分多少排列名次．在规定时间每人踢100个以上（含100个）为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个）：1号2号3号4号5号平均数众数中位数优秀率甲班989811092102乙班88999911995请你回答下列问题：（1）填写表格；（2）根据以上信息，请你回答下列问题：①从平均数、众数相结合的角度分析，应该把冠军奖状发给哪一个班级？②从优秀率的角度分析，应该把冠军奖状发给哪一个班级？（3）如果两个班各选两名同学参加市踢毽子的比赛，你认为哪个班级团体实力更强？为什么？2．某学校准备从八年级（1）、（4）、（8）班这三个班中推荐一个班作为市级先进班集体的候选班，现对这三个班进行综合素质考评，下表是它们五项素质考评的得分表（以分为单位，每项满分为10分）：班级行为规范学习成绩校运动会艺术获奖劳动卫生八（1）班10106107八（4）班108898八（8）班910969（1）请问各班五项考评分的平均数、中位数和众数中，哪个统计量不能反映三个班的考评结果的差异？并从中选择一个能反映差异的统计量将他们的得分进行排序；（2）根据你对表中五个项目的重要程度的认识，设定一个各项考评内容的比例（比例的各项须满足：①均为整数；②总和为10；③不全相同），按这个比例对各班的得分重新计算，比较出大小关系，并从中推荐一个得分最高的班级作为市级先进班集体的候选班．答案：1．解：（1）甲班的平均数，众数，中位数，优秀率分别为：100，98，98，40%；乙班的平均数，众数，中位数，优秀率分别为：100，99，99，20%.（2）①两个班的平均数相等，从众数的角度看，乙班好于甲班，应该把冠军奖状发给乙班；②从优秀率的角度看，甲班好于乙班，应该把冠军奖状发给甲班．（3）如果两个班各选两名同学参加市踢毽子的比赛，乙班级团体实力更强，因为乙班前两名的同学的总成绩为218个，而甲班为212个．2．解：（1）设P1，P4，P8依次为3个班考评分的平均数，W1，W4，W8依次为三个班考评分的中位数，Z1，Z4，Z8依次为三个班考评分的众数．则：P1=15（10+10+6+10+7）=8.6（分），P4=15（8+8+8+9+10）=8.6（分），P8=15（9+10+9+6+9）=8.6（分），W1=10（分），W4=8（分），W8=9（分），Z1=10（分），Z4=8（分），Z8=9（分）∴平均数不能反映这三个班的考评结果的差异，而用中位数（或众数）能反映差异，且W1＞W8＞W4（或Z1＞Z8＞Z4）.（2）给出一种参考答案:选定行为规范：学习成绩：校运动会：艺术获奖：劳动卫生=3：2：3：1：1.设K1、K4、K8依次为3个班的考评分，则：K1=0.3×10+0.2×10+0.3×6+0.1×10+0.1×7=8.5(分),K4=0.3×10+0.2×8+0.3×8+0.1×9+0.1×8=8.7(分),K8=0.3×9+0.2×10+0.3×9+0.1×6+0.1×9=8.9(分).∵K8＞K4＞K1，∴推荐八（8）班作为市级先进班集体的候选班．6.4数据的离散程度专题探究创新题1．已知样本x1，x2，x3，…，xn的方差是1，那么样本2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的方差是（）A．1B．2C．3D．42．（2012湖北孝感）已知一组数据x1，x2，…，xn的方差是s2，则新的一组数据ax1+1,ax2+1,…,axn+1（a为常数,a≠0）的方差是(用含a,s2的代数式表示)．（友情提示：s2=n1[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn+x)2]）3．观察与探究：（1）观察下列各组数据并填空：A.1，2，3，4，5.Ax=___________，2AS=___________；B.11，12，13，14，15.Bx=___________，2BS=___________；C.10，20，30，40，50.Cx=___________，2CS=___________；D.3，5，7，9，11.Dx=___________，2DS=___________．（2）分别比较A与B，C，D的计算结果，你能发现什么规律？（3）若已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是x，方差为S2，求另一组数据3x1-2，3x2-2，…，3xn-2的平均数，方差.答案：1．D【解析】设样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为m，则其方差为S12=n1[（x1﹣m）2+（x2﹣m）2+…+（xn﹣m）2]=1，则样本2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的平均数为2m，其方差为S22=4S12=4．故选D．2．a2s2【解析】设数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2,则nxxxn21=x，21[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn+x)2]=s2.∴naxaxaxn12121=nnxxxan)(21=ax+1.新的一组数据的方差s′2=n1[(ax1+1－ax－1)2+(ax2+1－ax－1)2+…+(axn+1－ax－1)2]=n1[(ax1－ax)2+(ax2－ax)2+…+(axn－x)2]=n1{[a(x1－x)]2+[a(x2－x)]2+…+[a(xn－x)]2}=n1[a2(x1－x)2]+[a2(x2－x)2]+…+[a2(xn－x)2]=a2n1[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]）=a2s2.即新的一组数据ax1+1,ax2+1,…,axn+1（a为常数,a≠0）的方差是a2s2.3．解：（1）Ax=3，2AS=2，Bx=13，2BS=2，Cx=30，2CS=200，Dx=7，2DS=8.（2）规律：有两组数据，设其平均数分别为1x，2x，方差分别为s12，s22.①当第二组每个数据比第一组每个数据都增加m个单位时，则有2x=1x+m，s22=s12；②当第二组每个数据是第一组每个数据的n倍时，则有2x=n1x，s22=n2s12；③当第二组每个数据是第一组每个数据的n倍加m时，则有2x=n1x+m，s22=n2s12（3）另一组数据的平均数'x=1n（3x1-2+3x2-2+…+3xn-2）=1n[3（x1+x2+…+xn）-2n]=3x-2；因为s2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]，所以另一组数据的方差为s′2=1n[（3x1-2-3x+2）2+（3x2-2-3x+2）2+…+（3xn-2-3x+2）2]=1n[9（x1-x）2+9（x2-x）2+…+9（xn-x）2]=9s2．