有限元试题2010及答案

11.（10分）线弹性力学静力问题有限元法计算列式的推导是如何采用弹性力学问题基本方程？答：弹性力学有限元的基本过程是：1.假设单元的位移场模式}]{[}{eNf2.代入到几何方程得到}]{[}{eB3.代入到物理方程得到}]{][[}{eBD4.代入到虚功方程，得到单元刚度方程}]{[][eekF5.叠加到总刚阵，得到结构的平衡方程}]{[][eekF结点位移22.（20分）回答问题：（1）有限单元的形函数][N具有什么特征？（2）为了保证有限元法解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件？（3）弹性力学有限元中，平面等参数单元中的“等参数”概念是何意思？该单元在跨相邻单元时，位移场连续吗？应力场连续吗？答：1）其中的iN在i结点处取值为1；在其他结点处取值为零0iN；1iN。2）位移模式必须能反映单元的刚体位移；位移模式必须能反映单元的常量应变；位移模式尽可能反映单元之间位移的连续性。33）在有限单元法中最普遍采用的是等参变换，即单元几何形状的变换和单元内的场函数采用相同数目的节点参数及相同的插值函数进行变换。采用等参变换的单元称之为等参元。所谓“等参元”是指几何形状插值形函数和单元上的位移插值形函数相同，参数个数相等。相邻等参元之间，位移场是连续的，应力场不连续。3.（10分）图示弹性力学平面问题，采用三角形常应变元，网格划分如图，试求：（1）对图中网格进行结点编号，并使其系统总刚度矩阵的带宽最小；（2）计算在你的结点编号下的系统刚度矩阵的半带宽；（3）给出约束节点自由度的已知位移信息。4题3图p87625431912354678910题3图.三角形结构网格xy（2）10)1(2,4dMdB（3）041uu；041vv解：51315762543191211151410题3图答：（2）d=4,B=2(d+1)=10(3)0151151vvuu64.（7分）弹性力学空间轴对称问题的有限元计算列式与平面问题的有限元计算列式的主要相似之处？答：相似之处是：均是二维问题，单元自由度数相同，如他们的三角形3节点单元位移模式相同；区别之处是：平面问题应力和应变分量是3个，空间轴对称问题应力和应变分量是4个；求解刚度矩阵和等效结点力的积分，平面问题是在有厚度的单元平面上积分，而轴对称问题是在整个环体上积分。即平面单元指有厚度的面，轴对称单元指一个轴对称的旋转体。75.（8分）结构振动问题有限元离散的无阻尼自由振动方程为0ΦMK2)(式中nnK是刚度矩阵，nnM是质量矩阵，是结构固有频率，Φ是振型向量。试问为什么从上式求出的特征对iiΦ,(ni,,2,1)中，只有前若干低阶频率和相应振型是可靠的，误差较小。答：在有限单元法中，采用低阶多项式拟合振型。结构的低阶振型曲线与低阶多项式比较通配，结构的高阶振型曲线与低阶多项式曲线有着显著的差异。因而，有限元法中求出的低阶频率和振型是可信的，而所求出的高阶频率和振型误差较大，甚至无效。86．(20分)图示一维阶梯形杆，已知截面积参数A，长度l2，质量密度，弹性模量E。仅考虑沿轴向振动，采用2个杆单元，结点和单元编号见图。试求：（1）阶梯形杆轴向振动的整体一致质量矩阵和刚度矩阵；（2）引入已知位移，求系统振动的固有频率。题6图1l321lAA23uAA2122u1u解：（1）单元的一致质量矩阵和刚阵92112621lm211262lm111121lEk11112lEk整体一致质量矩阵和刚阵2101620246lM110132022lEK102）因为节点3固结，03u；在0MK中划去第3行和第3列，系统振动的特征方程为：0622463222AllAEMK令El32，2则上式展开为02165)2()1(633222222211021652；223lE解得：1303.05638122116252.03lElE07.35638222220346.33lElE127.(25分)图示等腰直三角形薄板和一根杆件相铰连。三角板厚度mh1.0，边长ma1，01,0EE(0E已知)，受集中力p作用。杆件沿y轴方向，长为ma1，截面积201.0mA，02EE。载荷及约束信息如图示，自重不计。试采用图示的1个三角形常应变元和1个平面杆元求：（1）结构整体的等效结点力列阵；（2）采用划行划列法引入已知结点位移，计算出结点1和2的位移；（3）杆件中内力。4题7图321yxaP12aaijm单元2：132单元1：2413解：（1）．结构整体等效结点力结点1234pT）（00001001F（2）．长度因子：a略写单元1：1,1,0,5.0mjmjibbyyb0,1,1mjmjiccxxc1005.020hEiik105.05.020hEijk005.0020hEimk145.15.05.05.120hEjjk5.005.0120hEjmk5.000120hEmmk5.005.05.005.00101005.005.15.015.05.015.05.105.00010105.005.05.005.0201haEk231132152442101000001010000002aAEk0001.0EaAE0005.02EhaE，已知：0441332vuvvuu16组装单元，有112.05.05.05.05.005.0210pvuE解得：02200Epv01240Epu，17（3）．杆中内力：ppvvaAEvuvuaAEKFFFFyxyx202000101000001010000022044220114422pN22（拉力）。(完)18练习２：已知m、EI、a、求支座反力。写出整体刚度方程即可解：（１）划分单元，给节点编号（２）单元分析331122223311462661261226466126123131vviaiiaiaiaiaiaiiaiiaiaiaiaiaiMYMY①①①①223322222233462661261226466126122323vviaiiaiaiaiaiaiiaiiaiaiaiaiaiMYMY②②②②(1)节点分析——对号入座它不能直接入座33222222222332211000446626266612126126122646006126120026004661200612321321viiaiaiiaiiaiaiaiaiaiaiaiaiaiiaiiaiaiaiaiaiiaiiaiaiaiaiaiMYMYMY0,0,,0,0,0323211YMmMvv(1)引入边界条件：332、、v332、、v211YMY、、由后三个方程可求得，然后把代入前三个方程，求得。22,vu0sin,1cos,0000001010000010100000101000001011①iaEAK1iaEA例１：已知：p，l，EA。求：解：方法１：１）划分单元，给节点编号２）单元分析①单元：令ITcossin00sincos0000cossin00sincos①①①KTKTKT②单元：21sin,23cos,30o0000010100000101lEA②Kcossin00sincos0000cossin00sincosT21233223,iilailEA，令2222222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscoscossin00sincos0000cossin00sincos0sin0sin0cos0cos0sin0sin0cos0coscossin00sincos0000cossin00sincos0000010100000101cossin00sincos0000cossin00sincosiilEATTKTK②②414341434343434341434143434343432i３）对号入座，形成总刚000041434143004343434300414341043000434343043000000000003213212222222222222222221111332211vuiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiYXYXYXpYXvuvu223311,0,0,0,0,0４）引入边界条件：划去１、２、５、６行和列，得pviuiviuii22222222141430)43()43(pivipu22222)833(,23解得由位移按单元刚度方程可求内力，由整体刚度方程可求外力。