湘教版九年级数学上册3.4.2相似三角形的性质

相似三角形的判定与性质本课内容本节内容3.4——3.4.2相似三角形的性质两个三角形相似，除了它们的对应角相等，对应边成比例等性质外，相似三角形还有哪些性质呢？动脑筋如图，已知△ABC∽△，AH、分别为对应边BC，上的高，那么吗？AHABAHABABCAHBC.AHABAHAB∴∵△ABC∽，解ABC△∴∠B=∠B.又∠AHB=∠=90°，'AHB∴△ABH∽'.ABH△类似地，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比.结论相似三角形对应高的比等于相似比.由此得到：例9如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，DE⊥AC，垂足为点E.已知CD=2，AB=6，AC=4，求DE的长.例9例9∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADC=90°，在Rt△ABC与Rt△ACD中，解∴△ABC∽△ACD.又CD，DE分别为它们的斜边上的高，.CDABDEAC∴又CD=2，AB=6，AC=4，∴DE=.43.ATABATAB求证：如图，已知△ABC∽△，AT、分别为对应角∠BAC，∠的角平分线.ABCATBAC例10∴∠B=∠，∠BAC=∠.BACB解△ABC∽△ABT',∵又AT、分别为对应角∠BAC，∠的角平分线，BAC'A'T'BAT',∠=BAC=∠∴∠BAT=∠BAC1212∴ABT'.△ABT∽△.ATABATAB∴类似地，我们可以得到另外两组对应角平分线的比也等于相似比.结论相似三角形对应的角平分线的比等于相似比.由此得到，已知△ABC∽△，若AD、分别为，的中线，那么成立吗？由此你能得出什么结论？ADABADABABCAD△ABCABC△相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.议一议议一议议一议练习已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别△ABC，△DEF的一条中线，且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，求DN的长.1.∴DN=3(cm).又AM，DN分别为它们的斜边上的高，DNDEAMAB，∴∵△ABC∽△DEF，解即.468DN如图，，AD，BE分别是△ABC的高和中线，，分别是的高和中线，且AD=4，=3，BE=6，求的长．2.△ABC∽ABC△BEABC△ADADBE∵解△ABC∽ABC，△即.''364BE'''，BEADBEAD∴∴=4.5.''BE动脑筋如图，已知，相似比为k，则S△ABC∶S△的值是多少呢？△ABC∽ABC△ABC因此，ADADBCBC=== ABCA'B'C'SS1212BCADBCAD'=2k.kk分别作BC，边上的高AD，，则AD=k.ADADBC结论相似三角形的面积比等于相似比的平方.由此得到，例11如图，在△ABC中，EF∥BC，S四边形BCFE=8，求S△ABC．AEEB12，EF∥BC，解∵∴△AEF∽△ABC.1,2AEEB又∴1.3AEAB.1=9四边形AEFAEFBCFESSS即∵.8四边形BCFES=.=1AEFS∴∴.9ABCS=.211=()39ABCAEFSS∴例12已知△ABC与的相似比为，且+=91，求△的面积.ABC△A'B'C'S A'B'C'23ABCS即4=9ABCA'B'C'.SS+=91，ABCSA'B'C'S又∴.4+=919A'B'C'A'B'C'SS.=63A'B'C'S∴解的相似比为，23△△ABC和ABC∵224=()=39，ABCA'B'C'SS∴1.证明：相似三角形的周长比等于相似比.练习证明：设△∽△ABC，相似比为k.ABC因为，所以从而ABBCCAABBCCAk.ABCABBCCAABCABBCCAkABBCCAABBCCAk△△()的周长的周长ABkABBCkBCCAkCA,,.2.已知，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，=24cm，求BC，AC，，的长.△ABC∽ABC△BCACAB解∵△ABC∽△ABC,∴它们的相似比为605726,.5=6ABBCAC==ABBC'AC'即∴在△ABC中，AC=60-15-20=25(cm)..20===30cm5566ACA'C'∴55×24=20cm66BC=B'C'=∴.15===18cm5566ABA'B'有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长和面积分别是多少？3.解由已知可得这两个直角三角形的相似比为37.∴另一个直角三角形的两条边分别为和428337535=337.另一个直角三角形的周长为∴另一个直角三角形的周长为∴.3528+7=2833另一个直角三角形的面积为.12898××7=233中考试题例如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=4cm，则BC的长为（）.A.8cmB.12cmC.11cmD.10cm1=2ADDBB解由DE∥BC，可知△ADE∽△ABC，所以，即，解得BC=12cm.=DEADBCAB41=3BC结束