数列的极限(1)

1.3数列的极限1数列极限的定义(解析定义)教学要求：理解数列极限的概念；了解收敛数列的性质并会加以简单的应用重点内容：2数列极限的性质3常用数列的极限一、数列极限的定义1.引例1、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”从这种截棒过程中可以看出：若用nxxx,,21表示对应的第,,,2,1n天剩余的棒长，则211x,2122x,21nnx棒长剩余量无限变小，当天数无限增大时，棒长剩余量无限接近于02、刘徽的割圆术(参见光盘演示)定义:按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数,,,,21nxxx(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,nx称为通项(一般项).数列(1)记为}{nx.例如;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n2.数列的定义;,)1(,,1,1,11n})1{(1n;,)1(,,34,21,21nnn})1({1nnn,333,,33,3注意：1.从几何上看，数列可以看作一个动点在数轴上的运动．1x2x3x4xnx2.从函数的角度看，数列是整标函数).(nfxnNn.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn3.数列极限的定义播放问题1:当无限增大时,任意数列是否能无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn问题2:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它？1nxnnn11)1(1通过上面演示实验的观察:“无限接近”的含义：只要n足够大，可以小于任意给定的正数(不管多小),1001给定,10011n由,100时只要n,10011nx要使,10001给定,1000时只要n,1000011nx有,100001给定,10000时只要n,100011nx有,0给定,])1[(时只要Nn.1成立有nx1nxnnn11)1(1定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：;.1的无限接近与刻划了不等式axaxnn..3有关与任意给定的正数N总存在正数N,使得对于Nn时的一切nx,那末就称常数a是数列nx的极限,或者称数列nx,limaxnn或).(naxn不等式axn都成立,收敛于a,记为)(NN;.2的过程刻划了不等式nNnx1x2x2Nx1Nx3x几何解释:2aaa.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当NaaxNnn:定义N4.引入符号;:每一个或任给的.:至少有一个或存在.,,0,0limaxNnNaxnnn恒有时使数列极限的定义未给出求极限的方法.注意：显然:常数列的极限等于同一常数.即ccnlim例1证明1(1)lim1.nnnn证故对任给0,要使|1|,nx只要1,n即1.n所以,则当nN时,就有即1(1)lim1.nnnn由nnnxnn11)1(|1|1若取,1N.1)1(1nnn小结:.||),(,0.1成立时，使得当不必是最小的寻找到任意给定的在时，关键是对于用定义证明数列极限存axNnNn)]([),(,)(),(|||,|.2NNnnnaxaxNnn即可取为并从中求出然后令如，必要时可以适当放大为找到上述..3小于某一给定常数情况下，可以先设定可以任意小的响有时为了方便，在不影例2.1lim22nann证明证axn122nannnan22,0任给,1nx要,2na只要,2an即所以,],[2aN取,时则当Nn122nan即)(222nanna,2an就有na2.1lim22nann所以例3.1,0limqqnn其中证明证,0则对任给,0nnqx,lnlnqn],lnln[qN取,时则当Nn,0nq就有.0limnnq,0q若;00limlimnnnq则,10q若,lnlnqn,)1(不妨设二、收敛数列的性质1、唯一性性质1收敛数列的极限是唯一的.证(反证法),lim,limbxaxnnnn又设由定义,使得.,,021NN;1axNnn时恒有当;2bxNnn时恒有当,,max21NNN取时有则当Nn)()(axbxbannaxbxnn.2.时才能成立上式仅当ba故收敛数列极限唯一.2、有界性定义:对数列nx,若存在正数M,使得一切自然数n,恒有Mxn成立,则称数列nx有界,否则,称为无界.例如,;1nnxn数列.2nnx数列数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间],[MM上.有界无界性质2收敛的数列必定有界.证,limaxnn设由定义,,1取,1,axNnNn时恒有使得当则.11axan即有},1,1,,,max{1aaxxMN记,,Mxnn皆有则对一切自然数.有界故nx推论无界数列必定发散.(命题与其逆否命题等价)注意：有界性是数列收敛的必要而非充分条件.注1：有界数列不一定收敛.如：2)1(1nnxnnx)1(注2：不收敛的数列也不一定无界.反例同上.3、保号性性质3若axnnlim，且0a(或0a)，则存在正整数N，当nN时，都有0nx(或0nx).证明：用极限的定义证明.推论：若数列nx从某项起有0nx(或0nx)，且axnnlim，则0a(或0a).注意如果数列,00}{）（或从某项起有nnnxxx,limaxnn且).0(0aa或则有).0(0aa或而得不出例如,01n01limnn但4、收敛数列与其子数列的关系的子数列（或子列）．的一个数列称为原数列到中的先后次序，这样得这些项在原数列保持中任意抽取无限多项并定义：在数列nnnxxx,,,,,21nixxxx,,,,21knnnxxx.knnxxkxxkknnnnkkk项，显然，中却是第在原数列而项，是第中，一般项在子数列注1：例如，性质4收敛数列的任一子数列也收敛，且极限相同．证明：数列极限的定义及注1注2：说明数列发散的方法：1)找出数列的一个发散子列；2)找出数列的两个有不同极限的子列.如nnx)1(注3：发散数列可能有收敛子列.如nnx)1(小结了解数列极限的解析定义，掌握数列极限的性质.习题13:2(2,3),5,6作业A：习题13:1(2,4),2(2),5作业B：.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限