导数中含全参数单调性及取值范围

实用标准文案文档应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点;利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题;利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点;将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考压轴题.一．含参数函数求单调性（求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大于0,解得增区间,令导数小于0,解得减区间.）例1（2012西2）已知函数2221()1axafxx，其中aR．（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在原点处的切线方程；（Ⅱ）求)(xf的单调区间．（Ⅰ）解：当1a时，22()1xfxx，22(1)(1)()2(1)xxfxx．………………2分由(0)2f，得曲线()yfx在原点处的切线方程是20xy．…………3分（Ⅱ）解：2()(1)()21xaaxfxx．………………4分①当0a时，22()1xfxx．所以()fx在(0,)单调递增，在(,0)单调递减．………………5分当0a，21()()()21xaxafxax．②当0a时，令()0fx，得1xa，21xa，()fx与()fx的情况如下：故)(xf的单调减区间是(,)a，1(,)a；单调增区间是1(,)aa．………7分③当0a时，()fx与()fx的情况如下：x1(,)x1x12(,)xx2x2(,)x()fx00()fx↘1()fx↗2()fx↘x2(,)x2x21(,)xx1x1(,)x()fx00()fx↗2()fx↘1()fx↗实用标准文案文档所以()fx的单调增区间是1(,)a；单调减区间是1(,)aa，(,)a．………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，0a时不合题意．………………10分当0a时，由（Ⅱ）得，)(xf在1(0,)a单调递增，在1(,)a单调递减，所以)(xf在(0,)上存在最大值21()0faa．设0x为)(xf的零点，易知2012axa，且01xa．从而0xx时，()0fx；0xx时，()0fx．若)(xf在[0,)上存在最小值，必有(0)0f，解得11a．所以0a时，若)(xf在[0,)上存在最大值和最小值，a的取值范围是(0,1]．…………12分当0a时，由（Ⅱ）得，)(xf在(0,)a单调递减，在(,)a单调递增，所以)(xf在(0,)上存在最小值()1fa．若)(xf在[0,)上存在最大值，必有(0)0f，解得1a，或1a．所以0a时，若)(xf在[0,)上存在最大值和最小值，a的取值范围是(,1]．综上，a的取值范围是(,1](0,1]．………………14分例2设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.【解析】由已知得函数()fx的定义域为(1,)，且'1()(1),1axfxax（1）当10a时，'()0,fx函数()fx在(1,)上单调递减，（2）当0a时，由'()0,fx解得1.xa'()fx、()fx随x的变化情况如下表x1(1,)a1a1(,)a'()fx—0+()fx极小值从上表可知当1(1,)xa时，'()0,fx函数()fx在1(1,)a上单调递减.当1(,)xa时，'()0,fx函数()fx在1(,)a上单调递增.综上所述：当10a时，函数()fx在(1,)上单调递减.当0a时，函数()fx在1(1,)a上单调递减，函数()fx在1(,)a上单调递增.实用标准文案文档已知函数322()1,afxxx其中0a.（I）若曲线()yfx在(1,(1))f处的切线与直线1y平行，求a的值；（II）求函数()fx在区间[1,2]上的最小值.解：3332222()()2axafxxxx，0x..........................................2分（I）由题意可得3(1)2(1)0fa，解得1a，........................................3分此时(1)4f，在点(1,(1))f处的切线为4y，与直线1y平行故所求a值为1.........................................4分（II）由()0fx可得xa，0a，........................................5分①当01a时，()0fx在(1,2]上恒成立，所以()yfx在[1,2]上递增，.......6分所以()fx在[1,2]上的最小值为3(1)22fa.........................................7分②当12a时，x(1,)aa(,2)a()fx－0＋()fx极小由上表可得()yfx在[1,2]上的最小值为2()31faa.......................................11分③当2a时，()0fx在[1,2)上恒成立，所以()yfx在[1,2]上递减.......................................12分所以()fx在[1,2]上的最小值为3(2)5fa......................................13分综上讨论，可知：当01a时，()yfx在[1,2]上的最小值为3(1)22fa；当12a时，()yfx在[1,2]上的最小值为2()31faa；当2a时，()yfx在[1,2]上的最小值为3(2)5fa.练习1已知函数211()ln(0)22fxaxxaa且R.(2012海淀一模）（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a，使得对任意的1,x，都有()0fx？若存在，求a的....................................10分实用标准文案文档取值范围；若不存在，请说明理由.2（2012顺义2文）（.本小题共14分）已知函数2()(1)2ln,fxaxx()2gxax,其中1a（Ⅰ）求曲线()yfx在(1,(1))f处的切线方程;（Ⅱ）设函数()()()hxfxgx，求()hx的单调区间.3（2012朝1）18.（本题满分14分）已知函数2()1exfxax,aR.（Ⅰ）若函数()fx在1x时取得极值，求a的值；（Ⅱ）当0a时，求函数()fx的单调区间.二参数范围有单调性时分离常数法例（东2）已知函数21()2e2xfxxxa.（Ⅰ）若1a，求()fx在1x处的切线方程；（Ⅱ）若)(xf在R上是增函数，求实数a的取值范围.解：1)由1a，21()2e2xfxxx，3(1)e2f，………1分所以()2exfxx.…………3分又(1)1ef，所以所求切线方程为3(e)(1e)(1)2yx即2(1e)210xy.…………5分（Ⅱ）由已知21()2e2xfxxxa，得()2exfxxa.因为函数)(xf在R上是增函数，所以()0fx恒成立，即不等式2e0xxa恒成立.………………9分整理得2exxa.令2(),exxgx3().exxgx………………11分实用标准文案文档,(),()xgxgx的变化情况如下表：由此得3(3)eaga=，即的取值范围是3,e.………………13分练习1（2012怀柔2）设aR，函数233)(xaxxf．（Ⅰ）若2x是函数)(xfy的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）若函数()()xgxefx在]2,0[上是单调减函数，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）2()363(2)fxaxxxax．因为2x是函数()yfx的极值点，所以(2)0f，即6(22)0a，所以1a．经检验，当1a时，2x是函数()yfx的极值点．即1a．----------------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由题设，'322()(336)xgxeaxxaxx，又0xe，所以，(0,2]x，3223360axxaxx，这等价于，不等式2322363633xxxaxxxx对(0,2]x恒成立．令236()3xhxxx（(0,2]x），则22'22223(46)3[(2)2]()0(3)(3)xxxhxxxxx，---------------------------10分所以()hx在区间0,2]（上是减函数，所以()hx的最小值为6(2)5h．----------------------------------------------------12分所以65a．即实数a的取值范围为6(,]5．-----------------------------------13分2（2012石景山1）已知函数2()2lnfxxax．（Ⅰ）若函数()fx的图象在(2,(2))f处的切线斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；（Ⅲ）若函数2()()gxfxx在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．分类讨论求参数例2（2012昌平1）已知函数.axxxxf1ln)(（a为实数）（I）当0a时，求)(xf的最小值；x(,3)3(3,)()gx0+()gx极小值实用标准文案文档（II）若)(xf在),2[上是单调函数，求a的取值范围解：(Ⅰ)由题意可知：0x……1分当0a时21)(xxxf…….2分当10x时，0)(xf当1x时，0)(xf……..4分故1)1()(minfxf.…….5分(Ⅱ)由222111)(xxaxaxxxf①由题意可知0a时，21)(xxxf,在),2[时，0)(xf符合要求…….7分②当0a时，令1)(2xaxxg故此时)(xf在),2[上只能是单调递减0)2(f即04124a解得41a…….9分当0a时，)(xf在),2[上只能是单调递增0)2(f即,04124a得41a故0a…….11分综上),0[]41,(a…….13分根据性质求范围）（零点例（2012昌平2）已知函数2()4ln6fxxaxxb（a，b为常数），且2x为()fx的一个极值点．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求函数()fx的单调区间；(Ⅲ)若函数()yfx有3个不同的零点，求实数b的取值范围．解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为（0，+∞）……1分∵f′(x)=624axx……2分∴06422a)(f，则a=1．………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知bxxxxf6ln4)(2实用标准文案文档∴f′(x)=xxxxxxxx)1)(2(24626242………6分由f′(x)0可得x2或x1，由f′(x)0可得1x2．∴函数f(x)的单调递增区间为(0，1)和(2，+∞)，单调递减区间为(1,2)．………9分(Ⅲ)由(Ⅱ)可知函数f(x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增．且当x=1或x=2时，f′(x)=0．………10分∴f(x)的极大值为5611ln4)1(bbf………11分f(