高等代数考研复习[多项式]

高等代数考研复习第五章多项式2013年8月第五章多项式多项式理论是古典代数的主要内容.多项式的研究,源于“代数方程求解”,是最古老的数学问题之一.多项式理论是高等代数中较为独立的部分,本章复习内容分为三个部分：(1)多项式的整除及最大公因式(2)多项式的因式分解与重因式(3)常见数域上的因式分解问题1.多项式的整除及最大公因式1.1多项式的有关概念形如的表达式称为系数在数域P上的一元n次多项式，记称为多项式的次数.当n=0时且称为零次多项式，当时称为零多项式，零多项式不定义次数.次数公式：1110()nnnnfxaxaxaxa(()),0fxnn00a()0fx(()())(())(()).fxgxfxgx多项式的相等：两个多项式相等当且仅当它们的次数相等，且同次项的系数相等.多项式的运算：多项式可以进行加法、乘法运算并满足交换律、结合律.乘法满足消去律即，若则1.2带余除法定理对任意的则一定存在使得且或(()())(())(()).fxgxfxgx()()()(),()0fxhxgxhxhx()().fxgx(),()(),fxgxPx(),()()qxrxPx()()()(),fxqxgxrx(())(())rxgx()0.rx这里称为商式，称为余式.余数定理：当时有，除所得余式为1.3多项式的整除(1)定义：对于多项式若存在多项式使得则称整除记为的充分必要条件为：()qx()rx(),(),fxgx()()()fxqxgx()qx()gx(),fx()|().gxfx()gxxa()()().fxxaqxr()|()gxfx()0.rxxa(),fx().fa|()()0.xafxfa当时称为多项式的根.(2)性质：a)b)且则c)且则d)若则多项式的整除与带余除法定理不因系数域的扩大而改变.()0faa()fx()|();()|0;|().fxfxfxcfx()|(),fxgx()|(),gxfx()().fxcgx()|(),fxgx()|(),gxhx()|().fxhx()|(),ifxgx1()|()().siiifxuxgx题型：1)带余除法方法与综合除法例1设求除的商及余式.例2求除以的余式.例3将按的方幂展开.2）整除的应用例4确定m、p的值，使43()2341fxxxx2()1gxxx()gx()fx3(1)fx21x432()61274fxxxxx1x24232|2.xxxmxpx例5证明：例6如果证明：例7若问是否有例8证明：如果则的根只能是零或单位根.1|1|.dnxxdn2331|()()xxfxxgx1|(),1|().xfxxgx1|(),nxfx1|().nnxfx()|(),nfxfx()fx1.4最大公因式1)定义:对任意多项式称为的一个最大公因式，如果：a)b)若是的任意公因式，都有表示首项系数为1的的最大公因式.(),()[],fxgxPx()dx(),()fxgx()|(),()|();dxfxdxgx()hx(),()fxgx()|().hxdx((),())fxgx(),()fxgx2)最大公因式存在定理:对任意多项式一定存在他们的最大公因式并且3)最大公因式求法---辗转相除法依据：当最后余数为零时，上一次除法的余式为最大公因式.(),()[],fxgxPx()dx()()()()().dxuxfxvxgx((),0)();()()()()((),())((),()).fxfxfxqxgxrxfxgxgxrx例求多项式的最大公因式,并且将最大公因式表示为的一个组合.1.5多项式的互素1)定义：若则称是互素的.2)互素的判别定理：互素的充分必要条件是：存在多项式使得43232()343,()31023fxxxxxgxxxx(),()fxgx((),())1,fxgx(),()fxgx(),()fxgx(),()uxvx()()1.ufxvgx3)互素的性质:a)若且则b)若且则c)若则推论：若例1证明：((),())1,fxgx()|()(),fxgxhx()|().fxhx12()|(),()|()fxgxfxgx12((),())1,fxfx12()()|().fxfxgx((),())1,fxgx((),())1,hxgx(()(),())1.fxhxgx((),())1((),())1nnfxgxfxgx(()(),()())((),())().fxhxfxgxfxgxhx例2设且证明：例3设不全为零，证明：例4如果证明：11()()(),()()(),fxafxbgxgxcfxdgx0.adbc11((),())((),()).fxgxfxgx(),()fxgx((),())((),()).nnnfxgxfxgx((),())1,fxgx(()(),()())1,fxgxfxgx例5证明：22()1ngxxxx能整除44()1nfxxx的充分必要条件是：n是偶数.2.多项式的因式分解与重因式2.1不可约多项式1)定义：数域P上一个次数的多项式如果不能表成数域P上的两个次数比次数低的多项式的乘积，称为P上的不可约多项式.2)性质：a)一次多项式一定是不可约多项式.b)是不可约多项式，则它的因式只有非零常数和1(),px(),px()px()px().cpxc)若是P上的不可约多项式，对任意的必有或d)是P上的不可约多项式，若则或3)不同数域上的不可约多项式类型a)在复数域上，不可约多项式只能是一次多项式.b)在实数域上，不可约多项式只能是一次多项式或判别式小于零的二次多项式.()px()(),fxPx((),())1pxfx()|().pxfx()px()|()(),pxfxgx()|()pxfx()|().pxgxc)在有理数域上存在任意次的不可约多项式，如在有理数域上不可约.2.2多项式因式分解定理1)数域P上每个次数的多项式都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.(定理只具有理论意义！)标准分解式:数域P上每个次数的多项式都可以分解成22x1()fx1()fx1212()()()().srrrsfxcpxpxpx2）利用标准分解式可求两个多项式的最大公因式.例已知，求32()221fxxxx432()21,gxxxxx((),()).fxgx2.3重因式及多项式的根1)重因式的定义：设是数域P上的不可约多项式，如果但是则称是的一个k重因式.当k=1时，称为单因式，k1时，称为重因式.2)重根：若但则称是的k重根.重因式依赖于数域.多项式有k重因式，不一定有k重根；反之，多项式有k重根必有k重因式！()[],()fxPxpx()|(),kpxfx1()(),kpxfx()px()fx()|(),kxfx1()(),kxfx()fx3)重因式的性质a)如果不可约多项式是的k重因式，那么也是的k-1重因式.反之不真，且的单因式不是的因式.例如b)如果是的k重因式，那么也是的因式，但不是的因式.c)是的重因式的充分必要条件是：()px()fx()px()fx()fx()fx1()1.nfxxn()px()fx()px(1)(),(),,()kfxfxfx()()kfx()px()fx是的公因式.即d)设的标准分解式为则即它与有完全相同的不可约因式.()px(),()fxfx((),())1.fxfx()fx1212()()()().srrrsfxcpxpxpx12()()()().((),())sfxcpxpxpxfxfx()fx题型分析：这部分题目主要是对重因式与重根概念与性质的应用,只有深刻理解概念与性质，才可能处理好这些问题!例1求有重因式的条件，并确定重因式.421axbx例2已知试确定p的值，使有重根，并求根.33()638fxxxpx()fx例3证明：没有重根.2()12!!nxxfxxn例4如果a是()fx的一个k重因式，证明：a是()[()()]()()2xagxfxfafxfa的一个k+3重因式。例5证明：22()|()()|().gxfxgxfx例6当正整数n取何值时，都有22211|(1)nnxxxx例7设(()),fxn若()|()fxfx那么()().nfxaxb例7的应用，设()fx为n次复系数多项式，且(0)0.()(),fgxxfx令()|(),fxgx若证明：()gx有n+1重零根.例8证明：设()fx是首项系数为1且次数大于零的多项式.那么是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是：()fx()[],gxPx必有((),())1fxgx或对某一正整数m，有()|().mfxgx例9设12(),(),,(),nfxfxfx都是次数不大于n-2的式系数多项式，证明：对任意数12,,,n都有111212122212()()()()()()0.()()()nnnnnnnffffffDfff3常见数域上多项式的因式分解问题3.1复数域上的因式分解问题1)代数学基本定理：每个次数大于等于1的复系数多项式在复数域上有一根.2)复系数多项式因式分解定理：每个次数大于等于1的的复多项式在C上可以唯一地分解为一次因式的乘积.1212()()()().rrsrsfxaxxx3.2实数域上的因式分解问题1)实系数多项式虚根成对定理：实系数一元多项式如果有虚根则也是这个多项式的根.,z_,z2)实系数多项式因式分解定理：每个次数大于等于1的的实多项式在R上可以唯一地分解为一次因式与二次不可约因式的乘积.121122211()()()()()().rrstrskkttfxaxxxxpxqxpxq3.3有理数域上的因式分解2)本原多项式:系数没有异于的整系数多项式.1)任一有理系数多项式总可以表示成一个有理数域一个整系数多项式的乘积.13)如果一个非零的整系数多项式能够分解成两个有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个整系数多项式的乘积.4)整多项式有理根存在判别定理：设整系数多项式10()nnfxaxaxa有有理根,(,)1.rsrs则0|,|.nsara特别，若1,na则多项式只有整数根.5)整多项式不可约判别法：（艾森斯坦因判别法)设10()nnfxaxaxa是整系数多项式如果存在一个素数p，使得a)†;npab)|,(0,1,2,,1);ipainc)20†.pa则多项式在Q上不可约.题型分析:1)特殊多项式的因式分解；2)有理根判定；3)可约性判定。例1(1)将1nx分别在C与R上因式分解.(2)求12()1nnfxxxx在C与R上的标准分解式.例2设a为实数，证明：11()nnnnfxxaxaxa最多只有一个实根(重根只算一个).例3设432()631,fxxxaxbx4323()254,4gxxaxxbx其中a,b是整数，试求全部的a,b使得(),()fxgx有公共的有理根，并求出相应的有理根.例4设10()nnfxaxaxa是整系数多项式，如果0,naa均为奇数，且(1),(1)ff至少有一个奇数，证明无有理根.()fx例5判别532()41686fxxxxx在Q上的可约性.例6判别432()3710fxxxxx在Q上的可约性.例7求所有整数m，使得5()1fxxmx在Q上可约。例8设12,,,naaa是不同的整数.证明：(1)12()()()()1nfxxaxaxa在Q上不可约.(2)22212()()