13—立体几何中的向量方法

13—立体几何中的向量方法【基础巩固】1.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是()(A)2,(B)-,(C)-3,2(D)2,22.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos,=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为()(A)(1,1,1)(B)(1,1,)(C)(1,1,)(D)(1,1,2)3.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为()(A)a(B)a(C)a(D)a4.如图所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则||等于()5.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则λ=.6.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC内,则x=.【空间三种角】1．异面直线所成角设异面直线a，b所成的角为θ，则cosθ＝|a·b||a||b|，其中a，b分别是直线a，b的方向向量．2．直线与平面所成角如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sinφ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|．3．二面角(1)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB―→与CD―→的夹角，如图(1)．平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α­l­β为θ或π－θ．设二面角大小为φ，则|cosφ|＝|cosθ|＝|n1·n2||n1||n2|，如图(2)(3)．考点一异面直线所成角[典例引领](2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC．(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．[即时应用]如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2．(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．考点二直线与平面所成角[典例引领](2016·全国丙卷)如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．[即时应用](2016·合肥市第二次质量检测)如图，六面体ABCD­HEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD．若DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3．(1)求证：EG⊥DF；(2)求BE与平面EFGH所成角的正弦值．考点三二面角[典例引领](2016·全国乙卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D­AF­E与二面角C­BE­F都是60°．(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角E­BC­A的余弦值．[即时应用](2017·河北省三市联考)如图，三棱柱ADE­BCG中，四边形ABCD是矩形，F是EG的中点，EA⊥AB，AD＝AE＝EF＝1，平面ABGE⊥平面ABCD．(1)求证：AF⊥平面FBC；(2)求二面角B­FC­D的正弦值．13—立体几何中的向量方法基础巩固1.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是(A)(A)2,(B)-,(C)-3,2(D)2,2解析:由题意知,解得或2.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos,=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为(A)(A)(1,1,1)(B)(1,1,)(C)(1,1,)(D)(1,1,2)解析:设P(0,0,z),依题意知A(2,0,0),B(2,2,0),则E(1,1,),于是=(0,0,z),=(-1,1,),cos,===.解得z=±2,由题图知z=2,故E(1,1,1).3.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为(A)(A)a(B)a(C)a(D)a解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,).设M(x,y,z).∵点M在AC1上且=,∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z)∴x=a,y=,z=.∴M(,,),∴||==a.故选A.4.如图所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则||等于(C)(A)6(B)6(C)12(D)144解析:因为=++,所以=+++2·=36+36+36+2×36cos60°=144.所以||=12.5.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则λ=.解析:由已知得==,∴8=3(6-λ),解得λ=-2或λ=.答案:-2或6.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC内,则x=.解析:根据共面向量定理设=λ+μ,即(x-4,-2,0)=λ(-2,2,-2)+μ(-1,6,-8),由此得解得λ=-4,μ=1,所以x=4+8-1=11.答案:111．异面直线所成角设异面直线a，b所成的角为θ，则cosθ＝|a·b||a||b|，其中a，b分别是直线a，b的方向向量．2．直线与平面所成角如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sinφ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|．3．二面角(1)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB―→与CD―→的夹角，如图(1)．平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α­l­β为θ或π－θ．设二面角大小为φ，则|cosφ|＝|cosθ|＝|n1·n2||n1||n2|，如图(2)(3)．考点一异面直线所成角[典例引领](2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC．(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．解：(1)证明：连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF．在菱形ABCD中，不妨设GB＝1．由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝3．由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC．又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC．在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝22．在Rt△FDG中，可得FG＝62．在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22，可得EF＝322．从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG．又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC．因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC．(2)以G为坐标原点，分别以GB―→，GC―→的方向为x轴，y轴正方向，|GB―→|为单位长度，建立空间直角坐标系G­xyz．由(1)可得A(0，－3，0)，E(1,0,2)，F－1，0，22，C(0,3，0)，所以AE―→＝(1，3，2)，CF―→＝－1，－3，22．故cos〈AE―→，CF―→〉＝AE―→·CF―→|AE―→||CF―→|＝－33．所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为33．[由题悟法]用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．[即时应用]如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2．(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．解：(1)证明：连接OC，由CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2，O是BD的中点，知CO＝3，AO＝1，AO⊥BD．在△AOC中，AC2＝AO2＋OC2，则AO⊥OC．又BD∩OC＝O，因此AO⊥平面BCD．(2)如图建立空间直角坐标系O­xyz，则A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，3，0)，D(－1,0,0)，AB―→＝(1,0，－1)，CD―→＝(－1，－3，0)，∴|cos〈AB―→，CD―→〉|＝|AB―→·CD―→||AB―→||CD―→|＝24．即异面直线AB与CD所成角的余弦值为24．考点二直线与平面所成角[典例引领](2016·全国丙卷)如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．解：(1)证明：由已知得AM＝23AD＝2．取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝12BC＝2．又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT．因为MN⊄平面PAB，AT⊂平面PAB，所以MN∥平面PAB．(2)取BC的中点E，连接AE．由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且AE＝AB2－BE2＝AB2－BC22＝5．以A为坐标原点，AE―→的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz．由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(5，2,0)，N52，1，2，PM―→＝(0,2，－4)，PN―→＝52，1，－2，AN―→＝52，1，2．设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则n·PM―→＝0，n·PN―→＝0，即2y－4z＝0，52x＋y－2z＝0，可取n＝(0,2,1)．于是|cos〈n，AN―→〉|＝|n·AN―→||n||AN―→|＝8525．所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为8525．[由题悟法]向量法求线面角的2大途径(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．[即时应用](2016·合肥市第二次质量检测)如图，六面体ABCD­HEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD．若DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3．(1)求证：EG⊥DF；(2)求BE与平面EFGH所成角的正弦值．解：(1)证明：连接AC，由AE綊CG可知四边形AEGC为平行四边形，所以EG∥AC，而AC⊥BD，AC⊥BF，所以EG⊥BD，EG⊥BF，因为BD∩BF＝B，所以EG⊥平面BDHF，又DF⊂平面BDHF，所以EG⊥DF．(2)设AC∩BD＝O，EG∩HF＝P，由已知可得，平面ADHE∥平面BCGF，所以EH∥FG，同理可得：EF∥HG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以P为EG的中点，O为AC的中点，所以OP綊AE，从而OP⊥平面ABCD，又OA⊥OB，所以OA，OB，OP两两垂直，由平面几何知识，得BF＝2．分别以OA―→，OB―→，OP―→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O­xyz，则B(0,2,0)，E(23，0,3)，F(0,2,2)，P(0,0,3)，所以BE―→＝(23，－2,3)，PE―→＝(