浅谈计数原理在排列、组合和概率问题中的运用

浅谈计数原理在排列、组合和概率问题中的运用冯婷分类加法计数原理与分步乘法计数原理是学习排列、组合以及概率知识的预备知识，也是高考排列、组合和概率问题中必然会运用到的两大基本原理，是计算排列组合和概率问题的基础。如何分清两个原理的区别与联系，并能灵活运用，往往是解决排列组合和概率问题的关键。一、分类计数原理分类计数原理又称“加法原理”，是指：完成一件事有n类办法，若在第1类办法中有1m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，…，在第n类办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有12nNmmm种不同的办法（其中不同方案中的办法互不相同）。例1书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层方有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。则从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？解：从书架上任取一本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种取法；第2类办法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取一本体育书，有2种方法。根据分类计数原理可得，不同取法的种数为4329N种。例2在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？解：根据题意，则十位数字可能是1,2,3,4,5,6,7,8.当十位数字是1时，个位数字可能是2,3,4,5,6,7,8,9，共有8种可能情况；当十位数字是2时，个位数字可能是3,4,5,6,7,8,9，共有7种可能情况；当十位数字是3时，个位数字可能是4,5,6,7,8,9，共有6种可能情况；…；当十位数字是7时，个位数字可能是8,9，共有2种可能情况；当十位数字是8时，个位数字只能是9，共有1种可能情况。根据分类计数原理，符合条件的两位数总共有1+2+…+8=36个。例3古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有多少种？解：根据题意，第一个位置可以排“金、木，水，火，土”五种属性，则当第一个排的是“金”时，则“金”的后面只能排“土”或“水”。若后面排的是“土”，则“土”的后面只能排“火”，此时的排列为“金，土，或，木，水”；若后面排的是“水”，则“水”的后面只能排“木”，此时的排列为“金，水，木，火，土”；当第一个排的是“木”时，则“木”的后面只能排“水”或“火”，此时的排列为“木，水，金。土，火”或“木，火，土，金，水”；当第一排的是“水”时，则“水”的后面只能排“金”或“木”，此时的排列为“水，金，土，火，木”或“水，木，火，土，金”；当第一个排的是“火”是，则“火”的后面只能排“木”或“土”，此时的排列为“火，木，水，金，土”或“火，土，金，水，木”；当第一个排的是“土”时，则“土”的后面只能排“金”或“火”，此时的排列为“土，金，水，木，火”或“土，火，木，水，金”。因此，总共有10种不同的排列方法。二、分步计数原理分步计数原理又称“乘法原理”，是指：完成一件事，需要分成n个步骤，若做第1步有1m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方法，…，做第n步有nm种不同的方法，则完成这件事总共有12nNmmm种不同的方法（其中前一步骤不管采用哪种方法都不会影响后一步骤方法的选取）。例4（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（假设冠军只有一人），共有多少种可能的结果？解：（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目这个事件需要分三个步骤来完成。第一步，跑步项目的选报没有限制，因此有4种报名方法；第二步，跳高项目的选报，因为每人只能报一项，因此选报跑步项目的同学不能参加跳高项目的选报，因此只有3种报名方法；同理，第三步，跳远项目的选报，报了跑步和跳高项目的同学都不能参加选报了，此时只有2种报名方法。由分步计数原理，总共有43224种不同的报名方法。（2）同样的，4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军这个事件也需要分三个步骤来完成。第一步，跑步项目冠军的争夺，因为没有限制，因此有4种结果；第二步，跳高项目冠军的争夺，虽然冠军只有一人但没有限制不能重复夺冠的，因此4名同学都有机会，此时还是有4种结果；同理，第三步跳远项目冠军的争夺也有4种结果。所以，此时共有44464种不同的结果。例5现要排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但不能安排同一个人值相邻两天的班，请问共有几种不同的值班表的排法？分析：安排值班表这件事，需要一天一天逐步安排，因此适用分步计数原理。解：首先排第一天的班，因为没有限制所以可以排任意一个人，有5种不同排法；然后排第二天的班，因为不能排第一天已排过的人，因此只有4种不同排法；第三天的班，同样不能排第二天排过的人，因此也有4种不同排法；同理，第四、五天都有4种不同排法。最后根据分步计数原理可得，总共有544441280种不同的排法。例6如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上三种不同颜色中的某一种，且允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，那么不同的涂色方案有多少种？解：按地图A、B、C、D四个区域依次涂色，需分四步完成。第一步，给A区域涂色，有3种不同的涂色方案；第二步，给B区域涂色，因为A、B区域相邻，因此只有2种不同的涂色方案；第三步，给C区域涂色，因为C区域与A、B区域都相邻，因此只有1种不同的涂色方案；第四步，给D区域涂色，因为D区域与B、C区域相邻且B与C相邻，因此这三个区域的涂色都不相同，因此此时也只有1种不同涂色方案。根据分步计数原理，共有32116种不同的涂色方案。从例题可以看到，分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事件的不同方法计数的问题，但分类加法计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，并且用其中任何一种方法都可以完成这件事；而分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存缺一不可，而且只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用的方法，即分类解决或分步解决，这边要特别注意“类”与“步”的区别，“类”与“类”之间是相互独立的，而“步”与“步”之间是相互联系的。但是，在复杂问题中，仅仅将事件分成几种情况或分成几种步骤还是无法分析，往往在各类情况下包括几个步骤，需要将分类计数原理和分步计数原理综合起来加以运用。三、分类计数原理和分步计数原理的综合运用例7有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则有多少种不同的选法？解：从若干本书中选出不属于同一学科的书2本这一事件可以分成以下三种情况：（1）选出一本语文书和一本数学书。这一事件可以分成两个步骤：步骤一，选出一本语文书，有9种选法；步骤二，选出数学书，有7种选法。则此时有9763种选法。（2）选出一本语文书和一本英语书。同理，这一事件可以分成两个步骤，此时有9545种选法。（3）选出一本数学书和一本英语书。同理，这一事件可以分成两个步骤，有7535种选法。因此，总共有979575143种不同的选法。例8现有高一四个班学生34人，其中一、二、三、四班个7人、8人、9人、10人，他们自愿自成数学课外小组，现要推选二人作为代表发言，且这二人必须来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：由题意，推选二人作为代表发言，且这二人必须来自不同的班级这一事件有6种可能情况：（1）二人来自一班、二班。这一事件可以分成两个步骤：步骤一，从一班选一人作为代表，有7种选法；步骤二，从二班选一人作为代表，有8种选法。此时有7856种选法。（2）二人来自一班、三班。同理，此时有7963种选法。（3）二人来自一班、四班。同理，此时有71070种选法。（4）二人来自二班、三班。同理，此时有8972种选法。（5）二人来自二班、四班。同理，此时有81080种选法。（6）二人来自三班、四班。同理，此时有91090种选法。因此，总共有787971089810910431种不同选法。例9（2009年浙江高考）甲、乙、丙三人站到共有7级得台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则有不同的战法种数是（用数字作答）。解：根据题意，可以分两种情况：（1）有2人站在同一级台阶上。此事件可分两个步骤：步骤一，其中两人站在一级台阶上，有237C种站法；步骤二，另外一人站在其他台阶上，有6种站法。此时有22233776CCA种站法。（2）每个人都站在不同的台阶上。此事件可分三个步骤：步骤一，甲站台阶上，有7种站法；步骤二，乙站在台阶上，有6种站法；步骤三，丙站台阶上，有5种站法。此时有37765A种站法。因此，总共有223377336CAA种不同站法。总结：1、在解决具体问题时，首先必须弄清楚该事件是需要“分类”还是“分步”，接着明确“分类”或“分步”的具体标准是什么，然后按一定的顺序进行罗列，避免重复或遗漏。在复杂问题中，往往需要先将复杂事件先“分类”即分成若干个情况进行讨论，然后再各个情况下进行“分步”，分解成若干步骤去完成。2、对于较为复杂的问题，有时我们可以通过画示意图或列表格等形式来帮助解题，特别对复杂的排队、分配等问题，画图或列表可以帮我分清类别，避免重复和遗漏。