《高等数学》-简介

$1-1函数1《高等数学》简介HighermathematicsSummarizedaccount微积分级数一.高等数学与初等数学的区别初等数学研究的对象主要是常量与固定的图形，初等数学是关于常量的数学。而高等数学研究的是变量和变化的图形，高等数学是研究变量的数学。二.《高数》课的内容一元函数微积分多元函数微积分2.常微分方程3.向量代数、空间解析几何1.数学分析$1-1函数2三.学习方法及要求1.注意知识的系统性、严密性、抽象性及应用的广泛性。2.掌握几个环节：听讲：全神贯注，听不懂时暂不讨论；补充的内容尽量作笔记。复习：结合教材按讲课系统看参考书，定义、定理、理解记住。习题：大量做、适量做，点的题目必做。小结：每章结束，自己应做个小结。四.考试为全校统考，流水阅卷$1-1函数3第一章函数与极限函数——-本课程研究的对象。极限——-本课程的基本手段，研究变量的基本方法。连续——有极限的特例，函数的一个常见性质。$1-1函数5一、基本概念(Basicconcepts)1.集合(set):具有某种特定性质的事物的总体.},,,{21naaaA}{所具有的特征xxM有限集(finiteset)无限集(infiniteset),Ma,Ma,().,subsxAxBABet若则必就说是的子集.BA记作组成这个集合的事物称为该集合的元素(element).(member)$1-1函数6N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:.,,RQQZZN.BA记作},2,1{A例如},023{2xxxC.CA则不含任何元素的集合称为空集(emptyset),)(记作例如,}01,{2xRxx.规定空集为任何集合的子集(subset).数集分类:(kindofnumberset)相等与就称集合且若BAABBA,,(equal).$1-1函数7.(,,表示任意一个）且baRba}{bxax称为开区间(openinterval),).,(ba记作}{bxax称为闭区间(closedinterval),].,[ba记作oxaboxab2.区间(interval):是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点(endpoint).$1-1函数8(half-openinterval),称为半开区间,}bxax{).,[ba记作,}bxax{].,(ba记作}{),[xaxa}{),(bxxboxaoxb有限区间(finiteinterval)无限区间(infiniteinterval)区间长度(lengthoftheinterval)的定义:两端点间的距离(distance)(即线段的长度)称为区间的长度.(,)xxR$1-1函数93.邻域(neighborhood):,a是两个实数与设).(0aU记作,叫做这邻域的中心点a.}{)(axaxaUxaaa,邻域的去心的点a0(){0}.δUaxxaδ,}{邻域的称为点数集aaxx.0且.叫做这邻域的半径(radius)$1-1函数104.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量(constant),注意：常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,常量与变量的表示方法：用字母x,y,z,s,t,u,v,w等表示变量.而数值变化的量称为变量(variable)(argument).常量可看作变量的一个特殊情况，认为在某一过程中该变量始终取一个数值。$1-1函数115.绝对值(absolutevalue):.0,,0,aaaaa)0(a运算性质(character):;baab;baba.bababa)0(aax;axa)0(aax;axax或绝对值不等式(inequality):$1-1函数12二、函数概念(conceptoffunction)例圆内接正多边形的周长nnrSnsin2),5,4,3(n3S5S4S6S圆内接正n边形Orn$1-1函数13因变量.)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfDx变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作定义:设x和y是两个变量,D是一个给定的数集，)(xfy如果对于每个数Dx,(independentvariable)(dependentvariable)数集D叫做这个函数的定义域.(domain)称为函数的值域函数值全体组成的数集}Dx),x(fyy{W(range).$1-1函数14(())0x)(0xf自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则(ruleofcorrespondence).xyDW约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,12xy例如，xyD:[-1,1].D：(-1,1).例如，,x11y2$1-1函数15oxy),(yxxyWD22222xyayax例如，确定了一个多值函数(singlevaluefunction),如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫作单值函数(multiple-valuedfunction).否则叫作多值函数定义:的图形函数称为点集)(}),(),{(xfyDxxfyyxC（figure）.$1-1函数16(1)符号函数.0,1,0,0,0,1sgnxxxxy几个特殊的函数举例xy1-1o.sgnxxx(signfunction)$1-1函数17y12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xo(2)取整函数y=[x],[x]表示不超过的最大整数.x阶梯曲线(stepcurve)$1-1函数18.,0,,1)(是无理数时当是有理数时当xxxDyy有理数点无理数点•1xo(3)狄利克雷函数(Dirichlet’sfunction)$1-1函数19(4)取最值函数)},(),(max{xgxfy)}(),(min{xgxfyyxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg$1-1函数205,0,0xxyxxx（）绝对值函数yxoxy$1-1函数21.0,1,0,12)(,2xxxxxf例如12xy12xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.(piecewisefunction)$1-1函数22例Example1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.)0(tt解solution,]2,0[时当ttEU2;2tEUtoE),2(E)0,(2单三角脉冲信号的电压,],2(时当t),(200tEU).(2tEU即$1-1函数23,),(时当t.0U其表达式为是一个分段函数,)(tUU).,(,0],,2(),(2],2,0[,2)(tttEttEtUUtoE),2(E)0,(2$1-1函数24例Example2.)3(,21,2,10,1)(的定义域求函数设xfxxxf解solution.231,2,130,1)3(xxxf,21,2,10,1)(xxxf,12,2,23,1xx].1,3[:fD故$1-1函数25三、函数的特性(propertiesoffunction)yoM-Mxy=f(x)X有界无界M-MyxoX0x,)(,,0,成立有若MxfXxMDX1．函数的有界性(boundedness):否则称无界上有界在则称函数,)(Xxf(unbounded).$1-1函数26注意：函数的有界性与区间有关f(x)在X上无界即：110,,()MxXfxM总使例如:6101101;10,1.yx，在（，）内无上界，有下界，故在（，）内是无界的但在上是有界的oxy16101yx6110x$1-1函数272．函数的单调性(monotone):(),,fxDID设函数的定义域为区间如果对于恒有时当及上任意两点区间,,2121xxxxI),()()1(21xfxfx()yfx1()fx2()fxyoI.)(上是单调增加的在区间则称函数Ixf(monotoneincreasing)$1-1函数28如果区间的定义域为设函数,,)(DIDxf,,2121时当及上任意两点对于区间xxxxI),()()2(21xfxf恒有x()yfx1()fx2()fxoIy.)(上是单调减少的在区间则称函数Ixf(monotonicallydecreasing)$1-1函数293．函数的奇偶性(pairity):偶函数yx)(xf)(xfyox-x)(xf有对于关于原点对称设,,DxD,)()(xfxf为偶函数称)(xf(oddfunction).$1-1函数30有若对于关于原点对称设,,DxD奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy),()(xfxf则称)(xf为奇函数.(evenfunction)$1-1函数314．函数的周期性(periodicity):通常说周期函数的周期是指其最小正周期.2l2l23l23l,)(Dxf的定义域为设函数如果存在一个不为零的)()(xflxf且为周期函数则称)(xf.)(,,DlxDxl使得对于任一数的周期称为)(xfl,恒成立(periodicalfunction),(period).$1-1函数32四、反函数(inversefunction)0x0yxyDWo)(xfy函数0x0yxyDWoj)(yx反函数$1-1函数33)(xfy直接函数xyo),(abQ),(baP)(xyj反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称(symmetric).xy$1-1函数34例Example3解,,0,,1)(QxQxxD设.))(().21(),57(的性质并讨论求xDDDD,1)57(D,0)21(D,1))((xDDoxy1单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期).不是单调函数,$1-1函数35例4求.2,1612,21,,1,21)(32的反函数xxxxxxxfy解当,12112xyx时，则另一个舍去）；(21yx当-1].8,1[y23xx时，],8,1[y由知3xy;3yx当时，2x.81612xy1612,8xyy知.1216yx$1-1函数36.8,1216,81,,1,21)(31xxxxxxxfy因此，反函数为$1-1函数37五、小结Briefsummary基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数$1-1函数38思考题Considerationquestion设0x，函数值21)1(xxxf，求函数)0()(xxfy的解析表达式.$1-1函数39思考题解答Solutiontoconsiderationquestion设,1ux则2111uuuf,112uu故)0(.11)(2xxxxf$1-1函数40一、填空题:1、若2251tttf,则__________)(tf,__________)1(2tf.,3,sin,3,1)(2xxxt设、则)6(=_________，)3(=_______