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马到成功奥数专题:离散最值引言：在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手：1.着眼于极端情形；2.分析推理——确定最值；3.枚举比较——确定最值；4.估计并构造。离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中，学好它可为解决数论，计数，应用问题等打下扎实的基础。一、从极端情形入手从极端情形入手，着眼于极端情形，是求解最值问题的有效手段。题目1.一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出8个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？解：假设摸出的8个球全是红球，则数字之和为（4×8=）32，与实际的和39相差7，这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。用一个绿球换一个红球，数字和可增加（6－4=）2，用一个黄球换一个红球，数字和可增加（5-4=）1。为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红球，现在7÷2=3……1，因此可用3个绿球换红球，再用一个黄球换红球，这样8个球的数字之和正好等于39。所以要使8个球的数字之和为39，其中最多可能有（8-3-1=）4个是红球。题目2.有13个不同正整数，它们的和是100。问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？解：①2+4+6+8+10+12+14+16=72还要有5个奇数，但和是奇数，100是偶数，所以只能少一个偶数，2+4+6+8+10+12+14=56100-56=4242=1+3+5+7+9+17，最多有7个偶数。②1+3+5+7+9+11+13+15=64还要5个偶数，100-64=3636=2+4+6+8+16最少有5个偶数。题目3.一种小型天平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码。为了能称出1克到91克的任意一种整数克重量，如果只允许在天平的一端放砝码，那么最少需要准备砝码多少个。解：要能称出1克到91克的任意一种整数克重量，要有9个9克、1个5克、1个3克、2个1克，它们的和是91，这样即可。需要9+1+1+2=13个。题目4.一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且进行加法运算。为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？222222-70000*3=12222按下了3个712222-7000*1=5222按下了1个75222-700*7=322按下了7个7322-70*4=42按下了4个742-7*6=0按下了6个7。3+1+7+4+6=21次二、枚举法与逐步调整当我们在有限数中求最大（或最小）值时，枚举法是常用基本方法之一。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。题目5.将6，7，8，9，10按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘，并将所得得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？解：要使乘积最小，就要每个数尽可能小。对于10，旁边添6和7，这样积小一些。于是有两种添法：----------------------------------------------题目6.某公共汽车从起点开往终点站，中途共有13个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？解法1：只需求车上最多有多少人。依题意列表如下：由上表可见，车上最多有56人，这就是说至少应有56个座位。说明：本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客中每人都有座位，应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以，我们不能只看表面现象，误认为有了“至少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。解法2：因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人数到以后各站（每站1人），这一人数也和本站上车的人数一样多，因此车开出时人数=（以前的站数+1）×以后站数=站号×（15-站号）。因此只要比较下列数的大小：1×14，2×13，3×12，4×11，5×10，6×9，7×8，8×7，9×6，10×5，11×4，12×3，13×2，14×1。由这些数，得知7×8和8×7是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是56人，所以它应有56个座位。说明：此题的两种解法都是采用的枚举法，枚举法是求解离散最值问题的基本方法。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。题目7.在如图18-2所示得2*8方格表中，第一行得8个方格内依次写着1、2、3、4、5、6、7、8。如果再把1、2、3、4、5、6、7、8按适当得顺序分别填入第二行的8个方格内，使得每列两数的8个差数两两不同，那么第二行所显示的八位数最大可能值是多少？解：这8个差分别是0，1，2，3，4，5，6，7，和为28，分成两组，每组14。8和7必然填在1，2两个方格内。前两列的差是7和5，第3个如果填6，那么7+5+3超过14，所以只能填5，此时3个差为7、5、2，和为14，第4个格子只能填4，填6就会有重复。数字6只能填在第7格，再凑一凑即可得出87541362。三、从简单情形入手解决复杂问题可以从简单问题入手，经过分析得出规律，也就找到了解决复杂问题的方法。题目8.从1234567891011…99100中划去100个数字，其他数字顺序不变，求剩下数中的最大数和与最大数位数相同的最小数。分析与解将此题简化为从12345678910中划去9个数字.利用枚举法不难得出剩下的两位数最大数为91，最小数为10，也就是在求最大数时，高位上的数字尽可能取大数字；求最小数时，高位上尽可能取小数字。本题中从12345678910中划去10个数字剩下9；从111213…484950中划去76个数字剩下4个9；再从51525354555657585960中划去14个数字剩下尽可能大的数是785960，从而得到所求的最大数9999978596061…99100。求最小值时，从12345678910中划去9个数字剩下10，从11121314…484950中划去76个数字剩下4个0，再从51525354555657585960中划去15个数字剩下尽可能小的数12340，从而得到所求最小数100000123406162…99100。题目9.将1，2，3，…，49，50任意分成10组，每组5个数。在每一组中，数值居中的那个数称为“中位数”。求这10个中位数之和的最大值与最小值。解：{1，2，3，49，50}{4，5，6，47，48}……{28，29，30，31，32}3+6+……+30=165（最小值）{1，2，48，49，50}{3，4，45，46，47}……{19，20，21，22，23}48+45+……+21=345（最大值）四、和一定问题例如，和为10的两个自然数，它们的积的最大值是什么？我们知道和为10的自然数共有5对，每对自然数乘积后又得到5个不同的数，如下表：由此我们得到，当这两个自然数都取5时积有最大值25。成立。也就是和一定时差最小乘积越大。题目10.有3条线段a,b,c，线段a长2.12米，线段b场2.71米，线段c长3.53米。如图18-1，以它们作为上底、下底和高，可以作出3个相同的梯形。问第几号梯形的面积最大？解：由于梯形体积=（上底+下底）*高/2在和一定的情况下，要使乘积最大，让两个数越接近。可见a+b与c十分接近，所以③的面积最大。题目11.如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么每个的利润是10元，但只能卖出500个。当这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少10个。为了赚得最多的利润，售价应定为多少？解：设每个商品售价为（50+x）元，则销量为（500-10X）个。总共可以获利（50＋x-40）×（500-10x）=10×（10+X）×（50-X）（元）。因（10+x）+（50－x）=60为一定值，故当10+X=50－X即X=20时，它们的积最大。此时，每个的销售价为50＋20=70（元）题目12.用3，4，5，6，7，8六个数字排成三个两位数相乘，要求它们的乘积最大。应该怎样排列？1＋9＝10→1×9＝92+8=10→2×8=163＋7=10→3×7=214+6=10→4×6=245+5＝10→5×5=25【分析与解】十位数字分别是8、7、6，876,个位数字分别是5，4，3，543，依据“接近原则”，大小搭配可得83×74×65，三个数最接近因而它们的乘积最大。综上数例，可以归纳出这样的规律:较大数后配较小的数，较小的数后配较大的数，这样才能使数之间更为接近，从而保证乘积最大。简单地说就是：数越接近，乘积越大。．．．．．．．．综上数例，可以归纳出这样的规律:较大数后配较小的数，较小的数后配较大的数，这样才能使数之间更为接近，从而保证乘积最大。简单地说就是：数越接近．．，乘积越大。五、积一定的问题两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的乘积始终保持不变，那么它们的差与和之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量，如果在变化的过程中，乘积始终保持不变，那么它们的差越小，和就越小。若它们能够相等，则当它们相等时，和最小。题目13.长方形的面积为144cm2，当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？解：设长方形的长和宽分别为xcm和ycm，则有xy＝144。故当x=y=12时，x+y有最小值，从而长方形周长2（x＋y）也有最小值。题目14.农场计划挖一个面积为432m2的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有3m和4m的堤堰如下图所示，要想占地总面积最小，水池的长和宽应为多少？解：如图所示，设水池的长和宽分别为xm和ym，则有xy＝432。占地总面积为S=（x＋6）（y＋8）cm2。于是S=Xy+6y+8X＋48＝6y+8X+480。我们知道6y×8X=48×432为一定值，故当6y=8X时，S最小，此时有6y=8X=144，故y=24，x=18。六、从整体入手从整体抓住数据的本质特征进行分析，较易突破难点。题目15.在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求：（1）算式的结果等于37；（2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？题目16.在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求：（1）算式的结果等于37；（2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？解：把10个数都添上加号，它们的和是55，如果把其中一个数的前面的加号换成减号，使这个数成为减数，那么和数将要减少这个数的2倍。因为55-37＝18，所以我们变成减数的这些数之和是18÷2=9。对于大于2的数来说，两数之和总是比两数乘积小，为了使这些减数的乘积尽可能大，减数越多越好（不包括1）。9最多可拆成三数之和2＋3＋4=9，因此这些减数的最大乘积是2×3×4＝24，添上加、减号的算式是10＋9＋8＋7＋6＋5-4-3-2＋1＝37。七、抓不等关系题目17.某校决定出版“作文集”，费用是30册以内为80元，超过30册的每册增加1.20元。当印刷多少册以上时，每册费用在1.50元以内？解：显然印刷的册数应该大于30。设印刷了（30＋x）册，于是总用费为（80+1.2x）元。故有80+1.2x≤1.5×（30+x），答案:117+30=147以内。题目18.有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块。那么这4袋糖块的总和