大学物理贝塞尔方程的解

第九章柱函数在§7–3中，已经求得贝塞尔方程的级数解。在本章中，首先讨论贝塞尔方程的不同形式的线性独立解，然后在第二节中重点讨论含贝塞尔方程的本征值问题。本章的最后，将简单介绍几种变形的贝塞尔方程的解。本章的内容在电动力学(如光导波的电磁结构)及量子力学(如弹性散射中的分波法)中均有重要应用。§9–1贝塞尔方程的解在§7–3中，已经求出了贝塞尔方程的两个线性独立解。当为非整数时，这两个线性独立的解分别为2020(1)()()!(1)2(1)()()!(1)2kkvvkkkvvkxJxkkvxJxkkv222'()0(0)xyxyxvyxb(一)贝塞尔函数和诺依曼函数J(x)称为阶贝塞尔函数。贝塞尔函数J0(x)、J1(x)、J2(x)…的图像当为整数或零时，J(x)与J–(x)不是线性独立的，它们之间有以下关系()(1)()(0,1,2,)mmmJxJxm贝塞尔方程的另一个独立解的形式为：20()()lnmkkmkwzzdzAJzz(7-3-15)但是，确定以上解中的系数是一件很麻烦的事情。有人采用一种巧妙的办法确定了贝塞尔方程中当为整数或零时的独立解。具体方法为：取J(x)与J–(x)的适当的线性组合，使得非整数趋于整数m时，该线性组合成为0/0型的不定式，再通过这一不定式的值来得到为整数时贝塞尔方程的另一独立解。符合要求的J(x)与J–(x)的线性组合为()cos()()sinvvvJxvJxNxvN(x)与J(x)、J–(x)是线性无关的。当→m时，利用洛比达法则，有()lim()cossinlimcos1(1)mvvmvvvvnmvvmNxNxJJvvJvvvJJvv——诺依曼函数(二)贝塞尔函数的生成函数和积分表示在§7–3例2(p60)中，曾证明函数在t=0的洛朗展开式为1()2xtte1()2()(0)xtmtmmeJxtt其展开系数为Jm(x)，所以上式左边的函数称为Jm(x)的生成函数。令t=ei，可以得到sin()iximmmeJxe利用洛朗展开式的系数公式，得到(9)(8)1()211()(1,2,)2xttmmCeJxdtmit上式即是贝塞尔函数的一种积分表达式，其中C是沿逆时针方向绕t=0一圈的任意回路。若取C为t平面上的单位圆，则在C上有t=ei。于是()(1)2(sin)1()2121cos(sin)2iieeimimixmJxeeedxedxmd——贝塞尔函数常用的积分形式(10)(11)(三)贝塞尔函数和诺依曼函数的渐近表示汉克耳函数从贝塞尔函数的第一种积分表达式出发，利用最陡下降法，可以得到贝塞尔函数的渐近表达式。为此，将贝塞尔函数第一种积分表示写为1()11()()[(),()]2xhtmnCttJxgtedtgthtt根据最陡下降法，需计算h(t)的一阶、二阶导数：231'(),''()2iththttaeh'(t)的零点是：t0=±i，因此，有0''()ihiae由此，得到01,2a此时，积分回路C应选为沿垂直于–0/2的方向通过两个鞍点±i，如下图所示。也就是说，积分路径在通过±i的两小段上与虚轴成450角，然后按任意路径环绕，形成闭合回路。对积分的主要贡献来自鞍点附近，即上图中的斜线段。利用(3-4-18)，得到()4()4122()~()()2xhiixhiinJxigieigieixx1(1)2()()ningiie将和h(±i)=±i代入上式，有2()cos()24nnJxxx这是贝塞尔函数渐进展开式的第一项，它可以用来作为x很大时Jn(x)的渐进表示。可以证明，这个结果对任何v阶贝塞尔函数都成立，即2()cos()24vvJxxx根据N(x)的定义式，利用上式，可以得到N(x)的渐进展开式：2()sin()24vvNxxx由此可见，当|x|很大时，J(x)和N(x)分别具有余弦函数和正弦函数的振荡特性，但振幅与成反比，随x增大而衰减。仿照三角函数和虚指数函数的关系式(1-2-12)，定义汉克尔函数(1)(2)()()()()()()vvvvvvHxJxiNxHxJxiNx它们的渐近表达式是()(1)24()(2)242()~2()~vvixvvvixvHxexHxex(四)递推公式柱函数在计算贝塞尔函数的积分时，经常要用到各阶贝塞尔函数之间、贝塞尔函数与其导数之间的关系，即递推公式。下面就来推导它们。以x乘(9-1-2)式的两边，再对x求导，得到2()02()102101(1)2[()][()]!(1)2(1)2(22)()!2(1)2(1)()!()2()kvvkvvkkvkvkkvkvkvvddxxJxdxdxkvkkvxkkvxxkkvxJx与此类似，以x–乘(9-1-2)式，然后求导，可得到1()vvvvdxJxJxdx将以上两式展开，经化简分别得到1111()()()()vvvvvvJxvxJxJxJxvxJxJx（）（）将上两式相加，得到112()()()vvJxJxJx将式(9-1-20)和式(9-1-21)相减，有112()()()vJxJxJxx在式(9-1-22)中令=0，则有(9-1-22)01()()JxJx在式(9-1-23)中令=1，则有(9-1-23)1210()2()()JxxJxJx由此可知，若已有零阶和一阶贝塞尔函数表，则由(9-1-23)式可计算整数阶贝塞尔函数之值。由上述递推公式，并由诺依曼函数的定义式(9-1-23)，可以导出诺依曼函数的类似的递推公式：因为J(x)和N(x)都满足(9-1-26)型的递推公式，而和是J(x)与N(x)的线性组合，所以汉克尔函(1)H(2)H数也满足同样的递推公式。常把任一满足这些递推关系的函数统称为柱函数，以Z来表示。对一般的柱函数，即有111111()()22dxZxZdxdxZxZdxZZZxZZZ可以证明：柱函数满足贝塞尔方程。但反过来，贝塞尔方程的解不一定满足以上递推关系。例利用递推关系证明1220100()()(1)()(1)()nnnnxJxdxxJxnxJxnxJxdx证明：利用递推关系及01()[()]dxJxxJxdx10()'()JxJx分部积分，得到101111110110220()[()]()(1)()()(1)()()(1)()(1)()nnnnnnnnnxJxdxxdxJxxJxnxJxdxxJxnxdJxxJxnxJxnxJxdx若n为奇数，照这样积分下去，最后一项积分为01()()xJxdxxJxc此时，积分结果可用J0(x)和J1(x)表示。若n为偶数，最后一项为，因而只能对J0(x)的级数表达式逐项积分。0()Jxdx当n=3时，有3320101()()2()4()xJxdxxJxxJxxJxc