解三角形(正弦定理、余弦定理)知识点、例题解析、高考题汇总及答案

中国教育培训领军品牌环球雅思解三角形【考纲说明】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识梳理】一、正弦定理1、正弦定理：在△ABC中，RCcBbAa2sinsinsin（R为△ABC外接圆半径）。2、变形公式：（1）化边为角：2sin,2sin,2sin;aRAbRBcRC（2）化角为边：sin,sin,sin;222abcABCRRR（3）::sin:sin:sinabcABC（4）2sinsinsinsinsinsinabcabcRABCABC.3、三角形面积公式：21111sinsinsin2sinsinsin22224ABCabcSahabCacBbcARABCR4、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）二、余弦定理1、余弦定理：Abccbacos2222bcacbA2cos222Bacacbcos2222cabacB2cos222Cabbaccos2222abcbaC2cos2222、余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的应用1、仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.中国教育培训领军品牌环球雅思θ图1图2图3图42、方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为（如图2）.3、方向角相对于某一正方向的水平角（如图3）.4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图4）.坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）【经典例题】1、（2012天津理）在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是,,abc,已知8=5bc,=2CB,则cosC（）A．725B．725C．725D．2425【答案】A【解析】85,bc由正弦定理得8sin5sinBC，又2CB，8sin5sin2BB，所以8sin10sincosBBB，易知247sin0,cos,coscos22cos1525BBCBB.2、（2009广东文）已知ABC中，CBA,,的对边分别为,,abc若62ac且75Ao，则b()A．2B．4＋23C．4—23D．62【答案】A【解析】000000026sinsin75sin(3045)sin30cos45sin45cos304A由62ac可知,075C,所以030B,1sin2Bα北东南西B目标llh中国教育培训领军品牌环球雅思,故选A3、（2011浙江）在ABC中，角,,ABC所对的边分,,abc.若cossinaAbB，则2sincoscosAAB()A．-12B．12C．-1D．1【答案】D【解析】∵BbAasincos，∴BAA2sincossin，∴1cossincoscossin222BBBAA.4、（2012福建文）在ABC中,已知60,45,3BACABCBC,则AC_______.【答案】2【解析】由正弦定理得32sin45sin60ACAC5、（2011北京）在ABC中，若15,,sin43bBA，则a.【答案】325【解析】：由正弦定理得sinsinabAB又15,,sin43bBA所以552,13sin34aa6、（2012重庆理）设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,且35cos,cos,3,513ABb则c______【答案】145c【解析】由35412cos,cossin,sin513513ABAB,由正弦定理sinsinabAB得43sin13512sin513bAaB,由余弦定理2222142cos25905605acbbcAccc7、（2011全国）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知sincsin2sinsinaACaCbB.（I）求B；（Ⅱ）若075,2,Abac求，.中国教育培训领军品牌环球雅思【解析】（I）由正弦定理得2222acacb由余弦定理得2222cosbacacB.故2cos2B，因此45B（II）sinsin(3045)Asin30cos45cos30sin45264故sin2613sin2AabBsinsin6026sinsin45CcbB.8、（2012江西文）△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.（1）求cosA;（2）若a=3,△ABC的面积为22,求b,c.【解析】（1）3(coscossinsin)16coscos3coscos3sinsin13cos()11cos()3BCBCBCBCBCBCA则1cos3A.（2）由（1）得22sin3A,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理2222291cos2123bcabcAbc则2213bc②,①②两式联立可得32ba或32ab.9、（2011安徽）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=3，b=2，12cos()0BC，求边BC上的高.【解析】：∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A，中国教育培训领军品牌环球雅思()0BC，∴12cos(180)0A，即12cos0A，1cos2A，又0°A180°，所以A＝60°.在△ABC中，由正弦定理sinsinabAB得sin2sin602sin23bABa，又∵ba，所以B＜A，B＝45°，C＝75°，∴BC边上的高AD＝AC·sinC＝2sin752sin(4530)2(sin45cos30cos45sin30)2321312()22222.10、（2012辽宁理）在ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.（I）求cosB的值;（Ⅱ）边a,b,c成等比数列,求sinsinAC的值.【解析】（I）由已知12,,,cos32BACABCBB（Ⅱ）解法一：2bac，由正弦定理得23sinsinsin4ACB，解法二：2222221,cos222acbacacbacBacac，由此得22abacac，得ac所以3,sinsin34ABCAC【课堂练习】1、（2012广东文）在ABC中,若60A,45B,32BC,则AC（）A．43B．23C．3D．322、（2011四川）在△ABC中，222sinsinsinsinsinABCBC，则A的取值范围是（）A．(0,]6B．[,)6C．(0,]3D．[,)33、（2012陕西理）在ABC中,角,,ABC所对边长分别为,,abc,若2222abc,则cosC的最小值为（）中国教育培训领军品牌环球雅思．32B．22C．12D．124、（2012陕西）在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a，b，c，若2222cba，则Ccos的最小值为（）A．23B．22C．21D．215、（2011天津）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且,23,2ABCDABBDBCBD则sinC的值为()A．33B．36C．63D．666、（2011辽宁）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a2，则ab（）A．23B．22C．3D．27、（2012湖北文）设ABC的内角,,,ABC所对的边分别为,,abc,若三边的长为连续的三个正整数,且ABC,320cosbaA,则sin:sin:sinABC为（）A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶48、（2011上海）在相距2千米的A．B两点处测量目标C，若0075,60CABCBA，则AC两点之间的距离是千米。9、（2012重庆文）设△ABC的内角ABC、、的对边分别为abc、、,且1cos4abC=1，=2，,则sinB____10、（2012北京文）在△ABC中,若3a,3b,3A,则C的大小为___________.11、（2012陕西文）在三角形ABC中,角A,B,C所对应的长分别为a,b,c,若a=2,B=6,c=23,则b=______12、（2012北京理）在△ABC中,若2a,7bc,1cos4B,则b___________.13、已知△ABC得三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.14、如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？中国教育培训领军品牌环球雅思、（2009安徽理）在ABC中，sin()1CA,sinB=13.（I）求sinA的值；（II）设AC=6，求ABC的面积.16、（2012安徽文）设ABC的内角,,ABC所对的边为,,abc,且有2sincossincoscossinBAACAC（Ⅰ）求角A的大小;（II）若2b,1c,D为BC的中点,求AD的长.17、（2011江苏）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为cba,,（1）若,cos2)6sin(AA求A的值；（2）若cbA3,31cos，求Csin的值.18、（2012天津文）在ABC中,内角,,ABC所对的分别是,,abc.已知22,2,cos4acA.（I）求sinC和b的值;（II）求cos(2)3A的值.19、（2010陕西）如图，A，B是海面上位于东西方向相距533海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？20、我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知6000CD米，45ACD，75ADC，目标出现于地面点B处时，测得30BCD，15BDC（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）.【课后作业】1、（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC中，12cot5A，则cosA()A．1213B．513C．513D．12132、（2009全国卷Ⅱ理）已知ABC中，12cot5A，则cosA()304575ACD15中国教育培训领军品牌环球雅思D.12133、（2012湖南文）在△ABC中,AC=7,BC=2,B=60°,则B