勾股定理的逆定理的应用

新人教八下数学课件17.2勾股定理的逆定理第2课时勾股定理的逆定理的应用情境导入探索新知小试牛刀小结反思课后演练情境导入1.勾股定理及其逆定理的内容：a2+b2=c2(a,b为直角边，c为斜边）Rt△ABC勾股定理：勾股定理的逆定理：a2+b2=c2(a,b为较短边，c为最长边）Rt△ABC，且∠C是直角.2.等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm,则BC边上的高是cm.83.已知△ABC中，BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为三角形，是最大角.直角∠A探索新知例1如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?NEPQR12用勾股定理的逆定理解决轮船航行问题一解：根据题意，PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=900.由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=450.因此∠2=450，即“海天”号沿西北方向航行.NEPQR12勾股定理及其逆定理在解决航海问题时，理解方位角的含义是前提，画出符合题意的图形，标明已知条件，转化为解决直角三角形问题所需的条件.归纳勾股定理及其逆定理的综合应用二例2已知：在四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13.求四边形ABCD的面积.连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.提示ADBC341312ADBC341312解：连接AC.在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=32+42=5在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169，AD2=169，所以AC2+CD2=AD2．所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°．所以四边形ABCD的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.解决四边形问题,连接对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是”黄金搭挡”，经常配套使用.归纳小试牛刀1.如图，直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A.4B.6C.16D.55C2.如图,△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D,则BD的长为（）A.B.C.D.2535455354abcl第1题图ABCD第2题图C53.医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东250的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的直线距离为500m,则公园在医院的北偏东的方向.东医院公园超市北6504.如图，等边三角形的边长为6，则高AD的长是；这个三角形的面积是.ABCD33935.如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=6,将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部分△AFC的面积是多少?FEADCB2222226,°8,,8.Rt2568.475.4ACDEAEADBEADBCCDABAFECFBAFECFBEFBFAFAFEAFAEEFAFAFAFAFC解：因为将矩形沿折叠，点落在点处，所以∠∠=90，又因为,，所以△≌△所以-在△中，，即（-），解得=故△的面积是小结反思同学们，一堂课就要结束了，别忘了总结和分享你的学习成果哦！1.如图，正方形小方格的边长均为1，则网格中的△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对ACAB课后演练2.如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，已知A(3,2),B(-2,3)，则∠OAB等于度.yAxBO第2题图45第1题图3.如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB、BC两条路可达到公路，经测量BC=6km,BA=8km,AC=10km,现需修建一条公路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为.4.8kmABCD第3题图4.如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处.问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由.解：∵AB=60m，BC=80m，AC=100m，∴AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90°.又∵AD//NM,∴∠NBA=∠BAD=30°．∴∠MBC=180°-90°-30°=60°.∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的.5.在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边.当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状（按角分类）.（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为三角形.解：（1）两直角边长分别为6，8时，斜边长为10，∴△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为钝角三角形；故答案为：锐角；钝角.(2)小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2c2时，△ABC为钝角三角形.”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a=2,b=4时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形?解:(2)∵c为最长边，2+4=6，∴4≤c6,a2+b2=22+42=20,①a2+b2c2,即c220,0c.∴当4≤c时，这个三角形是锐角三角形；②a2+b2=c2,即c2=20,c=,当c=时，这个三角形是直角三角形；③a2+b2c2，即c220,c,∴当＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形.252525252525