材料力学(II)第四章-材料力学-孙训方

材料力学Ⅱ电子教案1第四章压杆稳定问题的进一步研究§4－2大柔度杆在小偏心距下的偏心压缩计算§4－1几种细长中心受压直杆临界力的欧拉公式§4－4其他弹性稳定问题简介§4－3纵横弯曲材料力学Ⅱ电子教案2§4－1几种细长中心受压直杆临界力的欧拉公式Ⅰ.杆端弹性支承的细长压杆第四章压杆稳定问题的进一步研究FcrBAlEIEIbEIaCD（a）图a所示刚架，在临界力Fcr作用下其挠曲线如图中虚线所示。AB杆的A、B端的转动分别受到AC、BD杆的弹性约束。可将材料力学Ⅱ电子教案3压杆在图c所示的微弯状态下保持平衡。杆端的反力偶矩为'AAAwkM（a）)('BBBwkM,式中，MA0,MB0,0,0。由平衡条件得杆端的水平支反力为(MB-MA)/l，其指向如图c所示。'Aw'Bw第四章压杆稳定问题的进一步研究AB杆视为两端均为弹性固定端的压杆（图b）。弹簧的刚度系数分别为kA、kB。（b）(c)材料力学Ⅱ电子教案4弯矩方程为cr()()ABAxMxFwMMMl挠曲线的近似微分方程为lxMMMwFxMEIwABA)()(cr''令EIFk/cr2，得''22crcr()ABAMMMxwkwkFFl(b)(c)(d)(d)式的通解为第四章压杆稳定问题的进一步研究材料力学Ⅱ电子教案5crcrsincosABAMMMxwAkxBkxFFl（e）利用位移边界条件可以得出它将大于两端铰支压杆的临界力，而小于两端固定压杆的临界力，即0.5m1。第四章压杆稳定问题的进一步研究2cr2π()EIFlm;,0,0'AAkMwwxABkMwwlx',0,。10/lkkBA时，2cr2π(0.8)EIFl例如：，m=0.8。材料力学Ⅱ电子教案6例：求图a所示刚架中AB杆的临界力。FcrABlEIEIlC（a）dA’FcrABlx（b）dA'’MBww’xyFcr第四章压杆稳定问题的进一步研究解：刚架在Fcr作用下挠曲线如图a中虚线所示。AB杆可视为A为自由端，B为弹性固定端的压杆（图b），B端的反力偶矩由图c得0crdFMBlCBMBθB（c）材料力学Ⅱ电子教案7cr33BBFlMlEIEId(a)弯矩方程为cr()()MxFwd(b)挠曲线的近似微分方程为''cr()()EIwMxFwd(c)第四章压杆稳定问题的进一步研究lCBMBθB（c）材料力学Ⅱ电子教案8令，得2crFkEI（d）式的通解及其一阶导数分别为由x=0,w=0,得d22''kwkw（d）dkxBkxAwcossinkxBkkxAkwsincos'（f）（e）dB（g）第四章压杆稳定问题的进一步研究材料力学Ⅱ电子教案9x=0,w′=θB，得将(g)、(h)式代入(e)式，得cr3BFlAkEIkddddkxkxlkwcossin32crFkEI3lkAd又由于故第四章压杆稳定问题的进一步研究（h）（i）材料力学Ⅱ电子教案10临界力为化简上式，得解此超越方程，得kl的最小正根为（j）klkl3tan1925.1kl22cr221.1925π(2.63)EIEIFllddddkxkllkcossin3由x=l,w=δ,得第四章压杆稳定问题的进一步研究压杆的长度因数m=2.632,即该压杆的临界力小于一端自由，另一端固定的压杆的临界力。材料力学Ⅱ电子教案11Ⅱ.阶梯状细长压杆的临界力由于阶梯状压杆各段的EI不同，必须分段列挠曲线的近似微分方程，这样就增加了待定常数的个数，必须综合利用位移边界条件和位移连续条件，才能解得临界力Fcr。第四章压杆稳定问题的进一步研究图a所示压杆，在图b所示微弯状态下保持平衡。由于压杆的受力、约束、杆长、弯曲刚度均是关于C截面为对称的，所以材料力学Ⅱ电子教案12AD（0≤x≤l/4）段挠曲线的近似微分方程为弯矩方程为cr()MxFw（a）（b）第四章压杆稳定问题的进一步研究挠曲线也是关于C截面为对称的。故只需对AD和DC段分别列挠曲线的近似微分方程。0121''1wkw（c）令,（b）式成为2crFkEI1cr''1wFEIw材料力学Ⅱ电子教案13DC（l/4≤x≤l/2）段挠曲线的近似微分方程为''2cr22EIwFw（d）令，（d）式成为22cr21122FkkEI0222''2wkw（e）第四章压杆稳定问题的进一步研究分别求解（c）和（e）式，并利用x=0,w1=0;x=l/4,w1=w2;;x=l/2,=0，可解得'2'1ww'2w2cr21.68πEIFl材料力学Ⅱ电子教案14可见，该压杆的临界力比弯曲刚度为EI的等截面压杆的临界力（），增大了68%，而压杆材料仅仅增加了50%。可见采用变截面压杆较为节省材料。这是因为压杆两端附近的弯矩较小，中间部分的弯矩较大，把两端附近的部分材料移到中间部分，压杆不易变弯，从而增大了临界力。2cr2πEIFl第四章压杆稳定问题的进一步研究材料力学Ⅱ电子教案15第四章压杆稳定问题的进一步研究两端铰支细长压杆材料力学Ⅱ电子教案16§4－2大柔度杆在小偏心距下的偏心压缩计算图示偏心受压杆的弯矩为▲当FwFe时杆的最大压应力为这种杆称为大刚度（小柔度）杆。)()(weFxM（a）第四章压杆稳定问题的进一步研究M(x)≈FeAFFσczemax,W材料力学Ⅱ电子教案17▲当Fw不能忽略时，就不能利用叠加原理，这种杆称为小刚度（大柔度）杆。挠曲线的近似微分方程为)()(''weFxMwEIz（b）令，得通解为22EIFkekwkw22''ekxbkxAwcossin（d）（e）第四章压杆稳定问题的进一步研究材料力学Ⅱ电子教案18x=l,w=0，将（f）式代入(e)式，得得2tansin)cos1(kleklkleA)1cossin2(tankxkxklew（f）（g）由x=0,w=0，B=e)12(sec|2/klewlxd（4-4）x=l/2时2sec)(maxklFeeFMd（4-5）第四章压杆稳定问题的进一步研究得材料力学Ⅱ电子教案19Ⅱ.若EIz非常大时，→0，→1，则式中，由(4-4)、(4-5)、(4-6)式可见：zEIFkⅠ.d、Mmax、scmax和F均不成线性关系（几何非线性）。计算时不能用叠加原理。zEIFlkl222/seckld→0，第四章压杆稳定问题的进一步研究（4-6）2secmax,cklWeFAFzs材料力学Ⅱ电子教案20。即对弯曲刚度很大的压杆，当其受偏心压力作用时，可用叠加原理进行计算。Ⅲ.设e=e1、e=e2、e=e3，且e1e2e3。由（i=1,2,3）可画出一组F-d曲线（如图）。)12(seckleid第四章压杆稳定问题的进一步研究(1))12(seckled当→∞时，d→∞。此时，2/seckl，若e≠0，2π2kl由得，zEIFlkπ22πlEIFz。。zmax,maxW,eFAFeFMcs材料力学Ⅱ电子教案21随e值减小，F-d曲线逐渐靠近OF轴。e→0时，F-d曲线→OAB。d=0；22πlEIFzd为任意值。22πlEIFz第四章压杆稳定问题的进一步研究以为水平渐进线。22πlEIFz可见，e≠0时，F-δ曲线(2)时，时，材料力学Ⅱ电子教案22这是因为以上是用线弹性公式进行分析的。x=l/2的横截面上的大部分区域产生塑性变形，而发生弯折（图中虚线）。22πlEIFz第四章压杆稳定问题的进一步研究Ⅳ.e≠0,时，d→∞。22πlEIFz)(''2xMwEI实际上，当d达到一定值时，可把d→∞理解为d迅速增加，力为实际压杆临界力的上限值。材料力学Ⅱ电子教案23§4－3纵横弯曲图示大柔度杆的弯矩方程为可见，M（x）是由横向力q和纵向力F共同产生的，杆的（a）wFxqxqlxM2212)(第四章压杆稳定问题的进一步研究Fql/2xFM(x)wq材料力学Ⅱ电子教案242''22)(xqxqlFwxMwEIz（b）弯曲变形也是由q和F共同作用而引起的——纵横弯曲。挠曲线的近似微分方程为令，zEIFk2)22(222''xqxqlFkwkw（c）其通解为qFEIxFqxFqlkxBkxAwz2222cossin（d）第四章压杆稳定问题的进一步研究（b）式成为材料力学Ⅱ电子教案25由x=0,w=0和x=l,w=0，求出A、B常数，代入（d）式，并利用参数u=kl/2，进行化简，得将x=l/2代入（e）式，并利用k=2u/l化简，得)(2)1cossin(tan22xlxFqkxkxuqFEIwz（e）])2/1(sec524[3845|4242/maxuuuEIqlwwzlxd（4-7）令422/1sec425)(uuu第四章压杆稳定问题的进一步研究，（4-7）式成为材料力学Ⅱ电子教案26)(38454uEIqlzd式中，为由q产生的挠度，(u)为F对d的影响。可见d与q仍为线性关系,d与F为非线性关系。zIEql38454在x=l/2处，弯矩最大，其值为]2/1sec524[38458842422maxuuuEIqlFqlFqlMzd22)1(sec28uuql（4-8）第四章压杆稳定问题的进一步研究材料力学Ⅱ电子教案27Mmax和q成线性关系，和F成非线性关系。令式中，为q产生的弯矩，l(u)为F对弯矩的影响。82ql22(sec1)()uul近似解:，得到2max()8qlMul第四章压杆稳定问题的进一步研究影响系数(u)和l(u)可查表（铁摩辛柯弹性稳定中译本，P561,表A-2）最大压应力为zmaxmax,cWMAFs材料力学Ⅱ电子教案28u→0（F→0）时u→p/2时，secu→∞,由（4-7）式得d→∞，杆在xy平面内失稳。242302.1212/1sec524)(uuuuuzEIqlw38454maxd第四章压杆稳定问题的进一步研究)302.12(384524maxulEIqlwzd当时,4π22u6427206124521secuuuu材料力学Ⅱ电子教案29级数所以.π,444π,2π22crcr22222lEIFEIFllkuuzz222222cr4maxcr12.212.2303049.836//5(1)384zzzFlFFFuEIEIlEIlFqlFwEIFpd1crFF)11(111432xxxxxx。crcr1/11FFFF,,2zEIFkklu因为所以因为第四章压杆稳定问题的进一步研究，，。材料力学Ⅱ电子教案30可见F不仅产生轴向压力，也使弯曲正应力增加。4cr513841/zqlEIFFd第四章压杆稳定问题的进一步研究)/113845(88cr422maxFFEIqlFqlFqlMzd)/1/028.11(8crcr2FFFFql用能量方法，也可求得近似解[见杜庆华编材料力学（下）]。)1/028.1(8crcr2max,cF/FFFlWlqAFz－s材料力学Ⅱ电子教案31§4－4其他弹性稳定问题简介在分析压杆的稳定性时，把压杆抽象成为中心受压直杆，压杆只有轴向压缩变形，为了检验压杆直线状态下的平衡是否是稳定平衡，必须加横向干扰力。实际压杆可能会有微小的初曲率，荷载有可能有偶然偏心以及材质不均匀等因素，使压杆除产生压缩变形外，还产生第四章压杆稳定问题的进一步研究材料力学Ⅱ电子教案32附加的弯曲变形。为了便于分析，把以上产生弯曲变形的诸因素统一用微小偏心距e来表示，把压杆的计算模型取为如图所示的偏心压缩。F较小时轴向压缩弯曲在§4－2曾得到，由此可见，随F增加d增加，但d增加比F增加得快。当时，d迅速增加，压杆丧失工作能力，该力也