材料力学(II)第二章-材料力学-孙训方

材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析1第二章考虑材料塑性的极限分析§2－1塑性材料简化的应力-应变曲线§2－2拉压杆系的极限荷载§2－3等直圆杆扭转时的极限扭矩§2－4梁的极限弯矩·塑性铰材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析2§2－1塑性材料简化的应力—应变曲线图a所示为低碳钢拉伸时的应力—应变曲线，bc表示卸载规律。工程中有时要考虑材料塑性来计算构件的承载能力，低碳钢等塑性材料在应力超过比例极限后，应力和应变为非线性关系，使分析极为复杂。为了简化计psbpeobec(a)材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析3算，工程中把低碳钢等塑性材料的拉伸、压缩时的应力—应变关系简化为图b所示的曲线。即认为材料屈服前服从胡克定律，屈服后不考虑强化，拉伸和压缩时材料的屈服极限和弹性模量分别相等。该曲线称为弹性─理想塑性模型，这种材料称为弹性─理想塑性材料(通常简称为理想弹塑性材料)。同样，也可将塑性材料的t－g曲线简化为图c所示的曲线。sbs(b)stsggt(c)材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析4§2－2拉压杆系的极限荷载图a所示的静定结构中，各杆的材料相同，其应力—应变关系如图b所示。随着载荷增加，当其中任一杆横截面上的应力达到屈服极限时，该结构成为几何可变的机构，丧失承载能力。可见静定拉压杆系结构，考虑材料的塑性，也不能提高结构的承载能力。超静定杆系结构见下例。BCAF(a)ss(b)材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析5例2－1图a所示超静定杆系结构中，三杆的材料相同，－关系如图b所示，弹性模量为E。三杆的横截面积均为A。试分析当荷载F逐渐增加时三杆的应力和结点A位移的变化情况。(b)(a)l材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析6解：(1)应力1.当F较小时，三杆均处于弹性工作状态，解此超静定结构，得到三杆的轴力，除以其横截面面积后得三杆的应力分别为(1)cos21cos3221AF(2)cos2133AF可见213F(c)材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析7(3)cos213ssAF由于FN3=σsA，使超静定结构成为静定结构，荷载还可以继续增加，由结点A的平衡方程，得1、2杆的轴力为cos2ss2N1NAFFF2.F增加到Fs时，3杆首先屈服，1、2杆仍处于弹性工作状态。Fs称为屈服载荷。令3＝s，F=Fs。由(2)式得应力为cos2/ss21AF(4)材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析8(5)cos21suAF极限荷载和屈服荷载的比值为3sucos21cos21FF当＝45°时，Fu/Fs＝1.41，即考虑材料塑性将使结构的承载能力提高1.41倍。3.继续增加荷载，3杆的应力保持3＝s不变，1、2杆的应力增加，直到1、2杆也发生屈服(1=2=s)，整个结构屈服，从而丧失承载能力。这种状态称为极限状态，相应的荷载为极限荷载，用Fu表示。令FN1=FN2=FN3=sA，由结点A的平衡方程得材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析9(2)A点的位移1.F=Fs时，3＝s，3杆屈服，1、2杆仍处于弹性工作状态，由图d可得A点的位移为(6)s3sEAlAl2.继续增加荷载，3杆的应力3＝s保持不变，增加部分的荷载将由1、2杆承担，使1、2杆的弹性变形不断增加，直到1、2杆刚刚出现塑性变形，A点的位移为AA2l1l3l(d)132材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析10外力F和A点位移Δ之间的关系，如图e所示。FFs时，结构的刚度由三根杆组成，F≥Fs时，3杆屈服，结构的刚度由1,2杆组成，所以Oa和ab的斜率不同。2s1ucoscosEAAll(7)(e)ab材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析11由于一次超静定杆系结构中，存在一个多余约束的杆(例如，例2－1中的3杆)当某一杆发生塑性变形时，结构成为静定结构，还可以继续承载，直到结构中另外的杆发生塑性变形，使结构丧失承载能力，达到极限状态。(a)l材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析12§2－3等直圆杆扭转时的极限扭矩图a所示圆截面杆，其t－g的关系如图b所示。本节讨论等直圆杆极限扭矩及扭转残余应力问题。材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析13Ⅰ.极限扭矩(1)由塑性材料制成的受扭圆截面杆，一般把tmax=ts(图c)作为破坏条件，并以此建立强度条件。边缘屈服时的扭矩称为屈服扭矩，并用Ts表示，其值为(1)16πs3stdT仅当tmax=ts时，圆杆不会发生明显的屈服变形，扭矩还可以继续增加。sTdostst(c)材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析14(2)448πdπ216π3s3s2/2/s2s3ssdddTddttt(2)若扭矩增加到某个值时，圆杆进入弹塑性工作状态，根据平面假设，其g的变化规律如图d所示。根据图b所示的t~g关系，t的分布规律如图e所示，即靠近边缘处已进入塑性状态，其余部分仍处于弹性状态。设弹性区的直径为ds。取dA=2pd，扭矩为TTsgsgo(d)dsd(e)Tstd材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析15单位长度的扭转角为(3)232/π/16πss4ss3sGddGdtt(3)当扭矩增加到T=Tu时，横截面上各点的切应力均达到ts(图f)，圆杆进入完全塑性状态，即为极限状态，Tu称为极限扭矩，其值为式中，右边第一项为弹性区的扭矩，第二项为塑性区的扭矩。s3s16πtd22s2sdπ2ddtuTstst(f)材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析16由(1)式和(4)式可得3416π12πs3s3suttddTT可见，Tu=4Ts/3。若采用极限状态为破坏条件，将使承载能力提高4/3倍。(4)12πdπ2s32/02suttdTduTstst(f)材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析17Ⅱ.残余应力＋s34tst扭矩达到Tu时，卸去全部荷载，即反向加Me=πd3τs/12，由于卸载时，t－g为线性关系(图a)，所以，，切应力的分布规律如图b所示，将它与极限状态的切应力(图c)叠加，得残余应力，其分布规律如图d所示。取dA=2pd，其扭矩为s3s3max3416/π12/πtttdd＝Me=−TuMe=Tu(b)(c)Me=0s31t(d)ts材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析180dπ28/8/33dπ28/38/32/8/32s8/302sdddddddTtt扭矩T＝0，说明残余应力是自相平衡的。材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析19§2－4梁的极限弯矩·塑性铰Ⅰ.纯弯曲梁的极限弯矩图a所示矩形截面纯弯曲梁，其材料的－关系如图b所示。sbs(b)beMeM(a)h/2h/2材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析20(1)一般认为max=s为梁的破坏条件，把上、下边缘屈服时的弯矩称为屈服弯矩，并用Ms表示图c，其值为(1)6s2sbhM仅梁的上、下边缘处屈服，梁不会发生明显的屈服变形，弯矩还可以继续增加。(c)sssM材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析21sMsMss(d)(e)(2)当弯矩增加到时，梁进入弹塑性工作状态，根据平面假设，分布规律如图d所示。按照图b所示的－关系，的分布规律如图e所示。即梁的上、下边缘附近处为塑性变形，其余部分仍为弹性变形。MM材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析22(3)当弯矩增加到M=Mu时，整个横截面上的应力均达到s(图f)，梁进入完全塑性状态，也称为极限状态，Mu称为极限弯矩。由分离体(图g)横截面上的法向内力所组成的合力等于零，即0dddssNctAAAAAAFssuM(f)eMeMzxys(g)得ctAA(2)材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析23式中，At和Ac分别代表受拉区和受压区的面积。由(2)式确定中性轴z的位置。对于水平形心轴为对称轴的截面(例如，矩形等)，水平形心轴即为中性轴。对于水平轴不是对称轴的截面，例如T形截面，中性轴和水平形心轴不重合。随弯矩的增加，中性轴上移。到M=Mu时，中性轴位置如图所示。sssssusMMMuM中性轴上移802080zzc20(中性轴)(形心轴)y材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析24横截面上法向微内力组成极限弯矩，即ctssssuddddctctSSAyAyAyAyMAAAA式中，St、Sc分别表示受拉区和受压区面积对中性轴z的静矩，均取正值。令ctsSSW(塑性弯曲截面系数)(4)则ssuWM(5)材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析25对于b×h的矩形截面，(6)4482842s2u22s2ctbhMbhbhWbhhbhSS由(6)和(1)式，得5.164s2s2subhbhMM材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析26例2－4求图示T形截面梁的极限弯矩，s＝235MPa。材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析27解：1.确定中性轴的位置设中性轴z到截面底边的距离为y。并设中性轴以下为受拉区，以上为受压区，根据At=Ac，有yy250505050160502.求St、Sc34c34tmm10812/702507025050mm10375070215070502/507050160SS3.求MumkN3.2771081103723544ctsssuSSWMmm70y得材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析284.残余应力当矩形截面梁的弯矩达到Mu时，卸去全部荷载，即反向加Mu=bh2σs/4，并注意到卸载时－成线性关系，则卸载时max=(bh2s/4)/(bh2/6)=3s/2(图b)，将图b和图a的应力叠加得残余应力(图c)。可以验证残余应力自相平衡。bhyzc+-uMssuMM(a)+-uMs23+－-sS21s216/h3/h3/h6/h0M(b)uMM(c)+=s23+s材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析29Ⅱ.横力弯曲梁的极限荷载·塑性铰(1)静定梁图a所示梁的材料为理想弹塑性材料，Mmax=Fl/4发生在C截面处，当C截面处的max=s时，相应的荷载Fs为屈服荷载，C截面上的弯矩Ms为屈服弯矩，Ms的值为2/h2/hbyz-+SMSS（a）2/l2/lABSMSFC材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析30在Fs作用下，C截面未产生明显的塑性变形，F还可继续增加。s2ss641bhlFM(1)可得(2)s2s32lbhF材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析311.当FsFFu(Fu为整个C截面上的＝s时的荷载)时。随F的增加，max＝s(M=Ms)的截面由C截面向左、右两侧扩展，塑性区向中性轴处扩展，弹性区的高度为2ys(图b)，C截面的弯矩为s2s22/s0ss)34(d)d(2ssyhbyybyybyyMhyy-+sysyss(b)sMusFFF2/l2/lABsMCM材料力学Ⅱ电子教案第二章考虑材料塑性的极限分析32式中，第一个积分为半个弹性区的弯矩，第二