孙训方第五版材料力学(I)第四章

五邑大学土木建筑系：材料力学1第四章弯曲应力§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图§4-2梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图§4-3平面刚架和曲杆的内力图§4-4梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件§4-5梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件§4-6梁的合理设计§Ⅰ-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式·组合截面的惯性矩和惯性积五邑大学土木建筑系：材料力学2§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图Ⅰ.关于弯曲的概念受力特点：杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。变形特点：直杆的轴线在变形后变为曲线。梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学3弯曲变形第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学4第四章弯曲应力工程实例F2F1五邑大学土木建筑系：材料力学5纵向对称面对称弯曲——外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学6本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学7Ⅱ.梁的计算简图对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵对称面内的平面力系，故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。这里加“通常”二字是因为简支梁在水平面内对称弯曲时不能用轴线代表梁。第四章弯曲应力F五邑大学土木建筑系：材料力学8(1)支座的基本形式1.固定端——实例如图a，计算简图如图b,c。第四章弯曲应力(b)(c)MRFRxFRy(a)五邑大学土木建筑系：材料力学92.固定铰支座——实例如图中左边的支座，计算简图如图b，e。3.可动铰支座——实例如图a中右边的支座，计算简图如图c，f。第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学10悬臂梁(2)梁的基本形式简支梁外伸梁第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学11在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。(3)静定梁和超静定梁图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，称为超静定梁。第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学12例题4-1试求图a所示有中间铰C的梁A、B处的约束力。第四章弯曲应力(a)解：1.此梁左端A为固定端，有3个未知约束力FAx，FAy和MA；右端B处为可动铰支座，有1个未知约束力FBy。此梁总共有4个未知支约束力。五邑大学土木建筑系：材料力学13对于平面力系，虽然可列出3个独立平衡方程，但此梁具有中间铰C，故根据铰不能传递力矩的特点，作用在中间铰一侧(梁的AC或梁CB段)梁上的外力(荷载和约束力)对于中间铰C的力矩应等于零，还可列出1个独立的平衡方程。这样就可利用4个平衡方程求解4个未知支约束力。由此也可知，此梁是静定梁。第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学14第四章弯曲应力于是可求得约束力如下：0m5mN105m2.5m3mN1020033ByCFMkN29ByF五邑大学土木建筑系：材料力学150,0AxxFFmkN5.96AM0m5.61029mN105m4m3mN1020m1N105003333AAMM第四章弯曲应力0kN29m3mkN20kN50,0AyyFFkN81AyF五邑大学土木建筑系：材料力学162.此梁的约束力亦可将梁在中间铰C处拆开，先利用CB段梁作为分离体求约束力FBy和AC段梁在中间铰C处作用在CB段梁上的FCx和FCy，然后利用AC段梁作为分离体求约束力FAx，FAy和MA。第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学173.显然可见，作用在此梁CB段上的荷载是要通过中间铰传递到梁的AC段上的，但作用在AC段上的荷载是不会传递给CB段的。故习惯上把梁的AC段称为基本梁(或称主梁)，把梁的CB段称为副梁。第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学18思考：1.如果上述例题中所示的梁上，没有原来的荷载，但另外加一个作用在中间铰C上的集中荷载F=100kN，试求该梁的约束力。第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学192.在中间铰C的左侧加一个力矩为Me的力偶和在中间铰C的右侧加一力矩同样大小的力偶，它们产生的约束力是否一样？第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学20§4-2梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图Ⅰ.梁的剪力和弯矩(shearingforceandbendingmoment)图a所示跨度为l的简支梁其约束力为lFaFlalFFBA,梁的左段内任一横截面m－m上的内力，由m－m左边分离体(图b)的平衡条件可知：xlalFxFMlalFFFAA,S第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学21它们的指向和转向如图b中所示。显然这些内力是m－m右边的梁段对于左边梁段的作用力和作用力矩。故根据作用与反作用原理，m－m左边的梁段对于右边梁段(图c)的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指向和转向相反。这一点也可由m－m右边分离体的平衡条件加以检验：第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学220,0SByFFFF00xlFxaFMMBClalFlFaFFFFBS从而有xlalFxllFaxaFxlFxaFMB从而有第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学23梁的横截面上位于横截面内的内力FS是与横截面左右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动(剪切)相对应，故称为剪力；梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对应，故称为弯矩。第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学24为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学25综上所述可知：(1)横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。(2)横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。1.不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学262.截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学27Ⅱ.剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学28例题4-4图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章弯曲应力(a)五邑大学土木建筑系：材料力学29距右端为x的任意横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)，根据截面右侧梁段上的荷载有lxqxxqxxMlxqxxF02202S解：1.列剪力方程和弯矩方程当求悬臂梁横截面上的内力(剪力和弯矩)时，若取包含自由端截面的一侧梁段来计算，则可不求出约束力。第四章弯曲应力xMFS(x)五邑大学土木建筑系：材料力学302.作剪力图和弯矩图根据剪力方程和弯矩方程作出剪力图和弯矩图分别如图b和图c。按照习惯，剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方，弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方(即弯矩值绘于梁弯曲时其受拉的边缘一侧)。lxqxxF0SlxqxxqxxM0222第四章弯曲应力(b)(c)五邑大学土木建筑系：材料力学31由图可见，此梁横截面上的最大剪力其值为FS,max=ql，最大弯矩(按绝对值)其值为(负值)，它们都发生在固定端右侧横截面上。22maxqlM第四章弯曲应力(b)(c)(a)五邑大学土木建筑系：材料力学32例题4-5图a所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束力2qlFFBA第四章弯曲应力(a)五邑大学土木建筑系：材料力学332.列剪力方程和弯矩方程lxqxqlqxFxFA02SlxqxqlxxqxxFxMA02222xMFS(x)第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学34由图可见，此梁横截面上的最大剪力(按绝对值)其值为(正值，负值)，发生在两个支座各自的内侧横截面上；最大弯矩其值为发生在跨中横截面上。2max,SqlF82maxqlM3.作剪力图和弯矩图lxqxqlxF02SlxqxqlxxM0222第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学35简支梁受满布荷载作用是工程上常遇到的计算情况，初学者对于此种情况下的剪力图、弯矩图和FS,max，Mmax的计算公式应牢记在心！第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学36例题4-6图a所示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章弯曲应力F(a)解：1.求约束力lFaFlFbFBA,五邑大学土木建筑系：材料力学372.列剪力方程和弯矩方程此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。第四章弯曲应力FAC段梁axxlFbxFxMaxlFbFxFAA00SxMFS(x)五邑大学土木建筑系：材料力学38CB段梁lxalFalblFFlFbxFS第四章弯曲应力FFxxMFS(x)lxaxllFaaxFxlFbxM五邑大学土木建筑系：材料力学393.作剪力图和弯矩图如图b及图c。由图可见，在ba的情况下，AC段梁在0xa的范围内任一横截面上的剪力值最大，；集中荷载作用处(x=a)横截面上的弯矩值最大，。lFbFmax,SlFabMmaxlxaxllFaxM)(axlFbxF0SaxxlFbxM0lxalFaxFS第四章弯曲应力(b)(c)五邑大学土木建筑系：材料力学404.讨论由剪力图可见，在梁上的集中力(包括集中荷载和约束力)作用处剪力图有突变，这是由于集中力实际上是将作用在梁上很短长度x范围内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在x范围内是均匀的(图a),则剪力图在x范围内是连续变化的斜直线(图b)。从而也就可知，要问集中力作用处梁的横截面上的剪力值是没有意义的。第四章弯曲应力五邑大学土木建筑系：材料力学41例题4-7图a所示简支梁在C点受矩为Me的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章弯曲应力解：1.求约束力lMFlMFBAee,五邑大学土木建筑系：材料力学422.列剪力方程和弯矩方程此简支梁的两支座之间无集中荷载作用，故作用于AC段梁和BC段梁任意横截面同一侧的集中力相同，从而可知两段梁的剪力方程相同，即lxlMFxFA0eS第四章弯曲应力xxxMFS(x)xMFS(x)五邑大学土木建筑系：材料力学43至于两段梁的弯矩方程则不同：AC段梁：axxlMxFxMA0eCB段梁：lxaxllMMxlMMxFxMAeeee第四章弯曲应