配合主教材孙训方等编《材料力学》(第四版)(Ⅰ-Ⅱ)材料力学(I)第三章

材料力学Ⅰ电子教案1第三章扭转§3-1概述§3-2薄壁圆筒的扭转§3-3传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图§3-4等直圆杆扭转时的应力·强度条件§3-5等直圆杆扭转时的变形·刚度条件§3-6等直圆杆扭转时的应变能§3-7等直非圆杆自由扭转时的应力和变形*§3-8开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力与变形材料力学Ⅰ电子教案2§3-1概述变形特点：Ⅰ.相邻横截面绕杆的轴线相对转动；Ⅱ.杆表面的纵向线变成螺旋线；Ⅲ.实际构件在工作时除发生扭转变形外，还伴随有弯曲或拉、压等变形。受力特点：圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力偶Me作用下发生扭转。第三章扭转薄壁杆件也可以由其它外力引起扭转。MeMe材料力学Ⅰ电子教案3圆轴扭转变形第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案4本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。第三章扭转n主动轮从动轮叶片主轴Me材料力学Ⅰ电子教案5§3-2薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒——通常指的圆筒100r当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩——扭矩(torque)eMT第三章扭转mmTMelMemmMer0O材料力学Ⅰ电子教案6薄壁圆筒的扭转第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案7Ⅰ.薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律第三章扭转推论：(1)横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如同刚性平面一样；(2)相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的距离未变。MeADBCMejg材料力学Ⅰ电子教案8横截面上的应力：(1)只有与圆周相切的切应力(shearingstress)，且圆周上所有点处的切应力相同；(2)对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3)横截面上无正应力。第三章扭转Memmxr0tdA材料力学Ⅰ电子教案9Ⅱ.薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：TrAAdt由根据应力分布可知t02AT引进，上式亦可写作200πrAt20000π2)π2(drTrrTArTAATArd0t，于是有第三章扭转Memmxr0tdA材料力学Ⅰ电子教案10Ⅲ.剪切胡克定律(Hooke’slawinshear)(1)上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了g，这种直角改变量称为切应变(shearingstrain)。(2)该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j角，这种角位移称为相对扭转角。(3)在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是不沿壁厚变化的，故有，此处r0为薄壁圆筒的平均半径。lr0jg第三章扭转MeADBCMejgl材料力学Ⅰ电子教案11薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t不超过材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T)与相对扭转角j成线性正比例关系，从而可知t与g亦成线性正比关系：gtG这就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系数G称为材料的切变模量(shearmodulus)。钢材的切变模量的约值为：G=80GPa第三章扭转MeADBCMejg材料力学Ⅰ电子教案12§3-3传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图Ⅰ.传动轴的外力偶矩当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在t秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮在t秒钟内的转角a。第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案13因此，外力偶Me每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为3minrmNe3sradmNe3sradmNekw1060}{π2}{10}{10}{}{}{}{nMMtMPa因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：minrkw3minr3kwmNe}{}{1055.9}{π26010}{}{nPnPM第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案14主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案15Ⅱ.扭矩及扭矩图传动轴横截面上的扭矩T可利用截面法来计算。第三章扭转TMeMeTT=MeMeMe11材料力学Ⅰ电子教案16扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。第三章扭转T(+)T(-)材料力学Ⅰ电子教案17例题3-1一传动轴如图，转速；主动轮输入的功率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作轴的扭矩图。minr300n第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案18解：1.计算作用在各轮上的外力偶矩mkN9.15mkN)30050055.9(1MmkN78.4mkN)30015055.9(32MMmkN37.6mNk)30020055.9(4M第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案192.计算各段的扭矩BC段内：mkN78.421MTAD段内：mkN37.643MTCA段内：mkN9.56322MMT(负)第三章扭转注意这个扭矩是假定为负的材料力学Ⅰ电子教案203.作扭矩图由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56kN·m。第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案21思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案22第三章扭转15.94.786.374.78材料力学Ⅰ电子教案23§3-4等直圆杆扭转时的应力·强度条件Ⅰ.横截面上的应力表面变形情况推断横截面的变形情况(问题的几何方面)横截面上应变的变化规律横截面上应力变化规律应力-应变关系(问题的物理方面)内力与应力的关系横截面上应力的计算公式(问题的静力学方面)第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案241.表面变形情况：(a)相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b)纵向线倾斜了一个角度g。平面假设——等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。(1)几何方面第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案252.横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：xEGGGρρddtanjgg即xρddjg第三章扭转bbTTO1O2djGG'DD'aadxAEggEAO1DdjD'G'GO2d/2dxgg材料力学Ⅰ电子教案26xρddjg式中——相对扭转角j沿杆长的变化率，常用来表示，对于给定的横截面为常量。xddj可见，在横截面的同一半径的圆周上各点处的切应变g均相同；g与成正比，且发生在与半径垂直的平面内。第三章扭转bbTTO1O2djGG'DD'aadxAEgg材料力学Ⅰ电子教案27xGGddjgt(2)物理方面由剪切胡克定律tGg知第三章扭转可见，在横截面的同一半径的圆周上各点处的切应力t均相同，其值与成正比，其方向垂直于半径。材料力学Ⅰ电子教案28ppITGITGρt(3)静力学方面其中称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质。AAd2dTAAt从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式pddGITxjAAId2p以代入上式得：第三章扭转TAxGAddd2j即材料力学Ⅰ电子教案29pppmaxWTrITITrtpITtTmaxtmaxtd式中Wp称为扭转截面系数，其单位为m3。横截面周边上各点处(r)的最大切应力为第三章扭转TmaxtmaxtdD材料力学Ⅰ电子教案30实心圆截面：32πdπ24203dd圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp第三章扭转16π2/3ppddIWAAId2p材料力学Ⅰ电子教案31思考：对于空心圆截面，,其原因是什么？(33p116πaDW空心圆截面：((DdDdDAIDdAaa其中44442232p132π32πdπ2d第三章扭转((4344pp116π16π2/aDDdDDIW材料力学Ⅰ电子教案32以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体——单元体。可得：ttⅡ.单元体·切应力互等定理由单元体的平衡条件∑Fx=0和∑Mz=0知单元体的上、下两个平面(即杆的径向截面上)必有大小相等、指向相反的一对力t'dxdz并组成其矩为(t'dxdz)dy力偶。第三章扭转((yzxxzyMzdddddd0tt由材料力学Ⅰ电子教案33即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线垂直的切应力t和t数值相等，且均指向(或背离)该两个面的交线——切应力互等定理。第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案34思考：对于图示单元体，切应力t,t,t,t是否互等？xyttxytt第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案35现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面ef(如图)上的应力。Ⅲ.斜截面上的应力第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案36分离体上作用力的平衡方程为((((0sinsindcoscosdd,00cossindsincosdd,0aataattaataataaAAAFAAAF利用tt'，经整理得attataa2cos,2sin第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案37由此可知：(1)单元体的四个侧面(a=0°和a=90°)上切应力的绝对值最大；(2)a=-45°和a=+45°截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；ttmin45max45，如图所示。第三章扭转attataa2cos,2sin材料力学Ⅰ电子教案38至于上图所示单元体内不垂直于前、后两平面的任意斜截面上的应力，经类似上面所作的分析可知，也只与单元体四个侧面上的切应力相关。因此这种应力状态称为纯剪切应力状态。第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案39低碳钢扭转试验开始第三章扭转低碳钢扭转试验结束材料力学Ⅰ电子教案40低碳钢扭转破坏断口第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案41铸铁扭转破坏试验过程第三章扭转铸铁扭转破坏断口材料力学Ⅰ电子教案42思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案43例题3-2实心圆截面轴Ⅰ(图a)和空心圆截面轴Ⅱ(图b)（）除横截面不同外，其它均相同。试求两种圆轴在横截面上最大切应力相等的情况下，D2与d1之比以及两轴的重量比。8.0/22Dda第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案4431e1pe1p1max,1π16dMWMWTt(432e2pe2p2max,21π16atDMWMWT解：(4322p311p116π,16πaDWdW第三章扭转194.18.0113412dD由t1,max=t2,max，并将a＝0.8代入得材料力学Ⅰ电子教案45两轴的重量比即为其横截面面积之比：(((512.08.01194.114π4π222122221222212dDddDAAa空心圆轴的自重比实心圆轴轻。实际应用中，尚需考虑加工等因素。第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案46Ⅳ.强度条件][maxtt此处[t]为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即][pmaxtWT铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。第三章扭转材料力学Ⅰ电子教案47例题3-4图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径d2=100mm。扭转力偶矩MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m，材料的许用切应力[t]80MPa。试校核该轴的强度。第三章扭转材料力学Ⅰ