材料力学第5版(孙训方编)第三章

第三章扭转§3-1概述§3-2薄壁圆筒的扭转§3-3传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图§3-4等直圆杆扭转时的应力·强度条件§3-5等直圆杆扭转时的变形·刚度条件§3-6等直圆杆扭转时的应变能§3-7等直非圆杆自由扭转时的应力和变形§3-1概述变形特点：Ⅰ.相邻横截面绕杆的轴线相对转动；Ⅱ.杆表面的纵向线变成螺旋线；Ⅲ.实际构件在工作时除发生扭转变形外，还伴随有弯曲或拉、压等变形。受力特点：圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力偶Me作用下发生扭转。第三章扭转薄壁杆件也可以由其它外力引起扭转。MeMe圆轴扭转变形第三章扭转本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。第三章扭转n主动轮从动轮叶片主轴Me机器传动轴水轮发电机主轴水轮发电机§3-2薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒——通常指的圆筒100r当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩——扭矩(torque)eMT第三章扭转mmTMelMemmMer0O薄壁圆筒的扭转第三章扭转观察沿横截面圆周上各点处切应力的变化规律观察圆周线和纵向线薄壁圆筒的扭转(1)薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了γ，这种直角该变量称为切应变。(2)该圆筒两端截面之间绕圆筒轴线相对转动了φ角，这种相对转动的角位移称为相对扭转角。Ⅰ.薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律第三章扭转推论：(1)横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如同刚性平面一样；(2)相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的距离未变。MeADBCMejg横截面上的应力：(1)只有与圆周相切的切应力，且圆周上所有点处的切应力相同；(2)对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3)横截面上无正应力。第三章扭转Memmxr0tdAⅡ.薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：TrAAdt由根据应力分布可知t02AT引进，上式亦可写作200πrAt20000π2)π2(drTrrTArTAATArd0t，于是有第三章扭转Memmxr0tdAⅢ.剪切胡克定律(Hooke’slawinshear)(1)上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了g，这种直角改变量称为切应变。(2)该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j角，这种角位移称为相对扭转角。(3)在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是不沿壁厚变化的，故有，此处r0为薄壁圆筒的平均半径。lr0jg第三章扭转MeADBCMejgl薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t不超过材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T)与相对扭转角j成线性正比例关系，从而可知t（切应力）与g（切应变）亦成线性正比关系：gtG这就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系数G称为材料的切变模量(shearmodulus)。钢材的切变模量的约值为：G=80GPa第三章扭转MeADBCMejg剪切胡克定律适用于切应力不超过材料剪切比例极限τp的线弹性范围。§3-3传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图Ⅰ.传动轴的外力偶矩工程上不会直接给出外力偶矩，通常给转速n和功率P，需建立n、P与外力偶矩Me间的关系。第三章扭转当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在t秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮在t秒钟内的转角a。eMW因此，外力偶Me每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为3minrmNe3sradmNe3sradmNekw1060}{π2}{10}{10}{}{}{}{nMMtMP因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：minrkw3minr3kwmNe}{}{1055.9}{π26010}{}{nPnPM第三章扭转外力偶矩：minrkw3mNe}{}{1055.9}{nPM主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。第三章扭转Ⅱ.扭矩及扭矩图传动轴横截面上的扭矩T可利用截面法来计算。第三章扭转TMeMeTT=MeMeMe11扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。第三章扭转T(+)T(-)例题3-1一传动轴如图，转速；主动轮输入的功率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作轴的扭矩图。minr300n第三章扭转解：1.计算作用在各轮上的外力偶矩mkN9.15mN109.15mN)3005001055.9(331MmkN78.4mN1078.4mN)3001501055.9(3332MMmkN37.6mN1037.6mN)3002001055.9(334M第三章扭转minrkw3mNe}{}{1055.9}{nPM2.计算各段的扭矩BC段内：mkN78.421MTAD段内：mkN37.643MTCA段内：mkN9.56322MMT(负)第三章扭转注意这个扭矩是假定为负的3.作扭矩图由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56kN·m。第三章扭转思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？第三章扭转第三章扭转15.94.786.374.78§3-4等直圆杆扭转时的应力·强度条件Ⅰ.横截面上的应力表面变形情况推断横截面的变形情况(问题的几何方面，与变形有关)横截面上应变的变化规律横截面上应力变化规律应力-应变关系(问题的物理方面)内力与应力的关系横截面上应力的计算公式(问题的静力学方面)第三章扭转1.表面变形情况：(a)相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b)纵向线倾斜了一个角度g。平面假设——等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。(1)几何方面第三章扭转2.横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：xEGGGρρddtanjgg即xρddjg第三章扭转bbTTO1O2djGG'DD'aadxAEggEAO1DdjD'G'GO2d/2dxggxρddjg式中——相对扭转角j沿杆长的变化率，常用j'来表示，对于给定的横截面为常量。xddj可见，在横截面的同一半径的圆周上各点处的切应变g均相同；g与成正比，且发生在与半径垂直的平面内。第三章扭转bbTTO1O2djGG'DD'aadxAEggxGGddjgt(2)物理方面由剪切胡克定律tGg知第三章扭转可见，在横截面的同一半径的圆周上各点处的切应力t均相同，其值与成正比，其方向垂直于半径。未知的大小，故无法用该公式算需建立与扭矩T之间的关系。xddjtxddjppITGITGρt(3)静力学方面其中称为横截面的极惯性矩Ip，单位m4。它是横截面几何性质。AAd2dTAAt从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式pddGITxjAAId2p以代入上式得：第三章扭转TAxGAddd2j即pppmaxWTrITITrtpITtTmaxtmaxtd式中Wp称为扭转截面系数，其单位为m3。横截面周边上各点处(r)的最大切应力为第三章扭转TmaxtmaxtdD实心圆截面：32πdπ24203dd圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp第三章扭转16π2/3ppddIWAAId2p要求牢记以上两个公式。注意：对于空心圆截面，(33p116πDW空心圆截面：((DdDdDAIDdA其中44442232p132π32πdπ2d第三章扭转((4344pp116π16π2/DDdDDIW以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体——单元体。Ⅱ.单元体·切应力互等定理第三章扭转以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体——单元体。可得：ttⅡ.单元体·切应力互等定理由单元体的平衡条件∑Fx=0和∑Mz=0知单元体的上、下两个平面(即杆的径向截面上)必有大小相等、指向相反的一对力t'dxdz并组成其矩为(t'dxdz)dy力偶。第三章扭转((yzxxzyMzdddddd0tt由即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线垂直的切应力t和t数值相等，且均指向(或背离)该两个面的交线——切应力互等定理。第三章扭转现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面ef(如图)上的应力。Ⅲ.斜截面上的应力第三章扭转顺时针转动为正，逆时针转动为负。分离体上作用力的平衡方程为((((0sinsindcoscosdd,00cossindsincosdd,0tttttAAAFAAAF利用tt'，经整理得ttt2cos,2sin第三章扭转由此可知：(1)单元体的四个侧面(=0°和=90°)上切应力的绝对值最大；(2)=-45°和=+45°截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；ttmin45max45，如图所示。第三章扭转ttt2cos,2sin至于上图所示单元体内不垂直于前、后两平面的任意斜截面上的应力，经类似上面所作的分析可知，也只与单元体四个侧面上的切应力相关。因此这种应力状态称为纯剪切应力状态。第三章扭转低碳钢扭转试验开始第三章扭转低碳钢扭转试验结束低碳钢扭转破坏断口第三章扭转铸铁扭转破坏试验过程第三章扭转铸铁扭转破坏断口第三章扭转思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？第三章扭转剪切强度低于拉伸强度（低碳钢），破坏由横截面上的最大切应力引起，剪切破坏。拉伸强度低于剪切强度（铸铁），破坏由45o斜截面上的最大拉应力引起，拉断破坏。例题3-2实心圆截面轴Ⅰ(图a)和空心圆截面轴Ⅱ(图b)（）除横截面不同外，其它均相同。试求两种圆轴在横截面上最大切应力相等的情况下，D2与d1之比以及两轴的重量比。8.0/22Dd第三章扭转31e1pe1p1max,1π16dMWMWTt(432e2pe2p2max,21π16tDMWMWT解：(4322p311p116π,16πDWdW第三章扭转194.18.0113412dD由t1,max=t2,max，并将＝0.8代入得两轴的重量比即为其横截面面积之比：(((512.08.01194.114π4π222122221222212dDddDAA空心圆轴的自重比实心圆轴轻。实际应用中，尚需考虑加工等因素。第三章扭转参见ppt33、34页Ⅳ.强度条件][maxtt此处[t]为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即][pmaxtWT铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。第三章扭转1、强度校核；2、选择截面；3、计算许可载荷例题3-4直径为d=50mm的等截面钢轴，由功率为20KW的电动机带动，如图所示，钢轴的转速n=180/min，齿轮B、D、E的输出功率分别为PB=3KW、PD=10KW、PE=7KW。轴的许用切应力[τ]=40MPa，不考虑弯曲的影响。试校核该轴的强度。第三章扭转解：1、求外力偶矩；2、扭矩