材料力学第5版(孙训方编)第四章

第四章弯曲应力§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图§4-2梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图§4-3平面刚架和曲杆的内力图§4-4梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件§4-5梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件§4-6梁的合理设计§Ⅰ-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式·组合截面的惯性矩和惯性积§Ⅰ-4惯性矩和惯性积的转轴公式·截面的主惯性矩和主惯性积§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图Ⅰ.关于弯曲的概念受力特点：杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用（区别于扭转）。变形特点：直杆的轴线在变形后变为曲线。梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。第四章弯曲应力弯曲变形第四章弯曲应力第四章弯曲应力工程实例F2F1纵向对称面对称弯曲——外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。第四章弯曲应力本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲(对称弯曲以及特殊条件下的非对称弯曲）。第四章弯曲应力Ⅱ.梁的计算简图对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵对称面内的平面力系，故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。这里加“通常”二字是因为简支梁在水平面内对称弯曲时不能用轴线代表梁。第四章弯曲应力F(1)支座的基本形式1.固定端——实例如图a，计算简图如图b,c。第四章弯曲应力(b)(c)MRFRxFRy(a)2.固定铰支座——实例如图中左边的支座，计算简图如图b，e。3.可动铰支座——实例如图a中右边的支座，计算简图如图c，f。第四章弯曲应力悬臂梁(2)梁的基本形式简支梁外伸梁第四章弯曲应力在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。(3)静定梁和超静定梁图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，称为超静定梁。第四章弯曲应力§4-2梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图Ⅰ.梁的剪力和弯矩(shearingforceandbendingmoment)图a所示跨度为l的简支梁其约束力为lFaFlalFFBA,梁的左段内任一横截面m－m上的内力，由m－m左边分离体(图b)的平衡条件可知：xlalFxFMlalFFFAA,S第四章弯曲应力截面法它们的指向和转向如图b中所示。显然这些内力是m－m右边的梁段对于左边梁段的作用力和作用力矩。故根据作用与反作用原理，m－m左边的梁段对于右边梁段(图c)的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指向和转向相反。这一点也可由m－m右边分离体的平衡条件加以检验：第四章弯曲应力0,0SByFFFF00xlFxaFMMBClalFlFaFFFFBS从而有xlalFxllFaxaFxlFxaFMB从而有第四章弯曲应力梁的横截面上位于横截面内的内力FS是与横截面左右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动(剪切)相对应，故称为剪力（参见课本P8）；梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对应，故称为弯矩。第四章弯曲应力为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。第四章弯曲应力剪力正负号：dx微段，左端向上右端向下时，为正。反之为负。弯矩正负号：dx微段下凸为正，及下半部纵向受拉。反之为负。简化计算：梁某截面上的剪力和弯矩可直接从横截面任意一侧梁上的外力进行简化：(1)横截面上的剪力在数值上等于截面左侧（或右侧）梁段上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力（或右侧梁段上向下的外力）将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。(2)横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧（或右侧）梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。第四章弯曲应力1.不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。2.截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。第四章弯曲应力Ⅱ.剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。第四章弯曲应力剪力方程和弯矩方程（表示沿梁各横截面上剪力和弯矩的变化规律）xMMxFFsSS例题4-1（补充）图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章弯曲应力(a)距右端为x的任意横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)，根据截面右侧梁段上的荷载有lxqxxqxxMlxqxxF02202S解：1.列剪力方程和弯矩方程当求悬臂梁横截面上的内力(剪力和弯矩)时，若取包含自由端截面的一侧梁段来计算，则可不求出约束力。第四章弯曲应力xMFS(x)2.作剪力图和弯矩图根据剪力方程和弯矩方程作出剪力图和弯矩图分别如图b和图c。按照习惯，剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方，弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方(即弯矩值绘于梁弯曲时其受拉的边缘一侧)。lxqxxF0SlxqxxqxxM0222第四章弯曲应力(b)(c)抛物线：凹凸？由图可见，此梁横截面上的最大剪力其值为FS,max=ql，最大弯矩(按绝对值)其值为(负值)，它们都发生在固定端右侧横截面上。22maxqlM第四章弯曲应力(b)(c)(a)例题4-2图a所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力2qlFFBA第四章弯曲应力(a)2.列剪力方程和弯矩方程lxqxqlqxFxFA02SlxqxqlxxqxxFxMA02222xMFS(x)第四章弯曲应力由图可见，此梁横截面上的最大剪力(按绝对值)其值为(正值，负值)，发生在两个支座各自的内侧横截面上；最大弯矩其值为,即d(M(x)/dx=0时，x=l/2,发生在跨中横截面上。2max,SqlF82maxqlM3.作剪力图和弯矩图lxqxqlxF02SlxqxqlxxM0222第四章弯曲应力简支梁受满布荷载作用是工程上常遇到的计算情况，初学者对于此种情况下的剪力图、弯矩图和FS,max，Mmax的计算公式应牢记在心！第四章弯曲应力2max,SqlF82maxqlM例题4-3图a所示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章弯曲应力F(a)解：1.求约束力lFaFlFbFBA,2.列剪力方程和弯矩方程此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。第四章弯曲应力FAC段梁axxlFbxFxMaxlFbFxFAA00SxMFS(x)lFaFlFbFBA,CB段梁lxalFalblFFlFbxFS第四章弯曲应力FFxxMFS(x)lxaxllFaaxFxlFbxMlFaFlFbFBA,如截面法，保留右侧梁，计算更简便。3.作剪力图和弯矩图如图b及图c。由图可见，在ba的情况下，AC段梁在0xa的范围内任一横截面上的剪力值最大，；集中荷载作用处(x=a)横截面上的弯矩值最大，。lFbFmax,SlFabMmaxlxaxllFaxM)(axlFbxF0SaxxlFbxM0lxalFaxFS第四章弯曲应力(b)(c)4.讨论由剪力图可见，在梁上的集中力(包括集中荷载和约束力)作用处剪力图有突变，这是由于集中力实际上是将作用在梁上很短长度x范围内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在x范围内是均匀的(图a),则剪力图在x范围内是连续变化的斜直线(图b)。从而也就可知，要问集中力作用处梁的横截面上的剪力值是没有意义的。第四章弯曲应力思考：一简支梁受移动荷载F作用，如图所示。试问：荷载F移动到什么位置时此梁横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置时的最大弯矩都要大？该最大弯矩又是多少？亦即要求求出对于弯矩的最不利荷载位置和绝对值最大弯矩值。第四章弯曲应力例题4-4图a所示简支梁在C点受矩为Me的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章弯曲应力解：1.求约束力lMFlMFBAee,2.列剪力方程和弯矩方程此简支梁的两支座之间无集中荷载作用，故作用于AC段梁和BC段梁任意横截面同一侧的集中力相同，从而可知两段梁的剪力方程相同，即lxlMFxFA0eS第四章弯曲应力xxxMFS(x)xMFS(x)至于两段梁的弯矩方程则不同：AC段梁：axxlMxFxMA0eCB段梁：lxaxllMMxlMMxFxMAeeee第四章弯曲应力xxxMFS(x)xMFS(x)3.作剪力图和弯矩图axxlMxM0elxaxllMxMelxlMxF0eS第四章弯曲应力如图可见，两支座之间所有横截面上剪力相同，均为。在ba的情况下，C截面右侧(x=a+)横截面上的弯矩绝对值最大，为（负值)。弯矩图在集中力偶作用处有突变，也是因为集中力偶实际上只是作用在梁上很短长度范围内的分布力矩的简化。lMFeSlbMMemax第四章弯曲应力剪力图和弯矩图规律：（书上P106）1、梁上外力不连续处（即在集中力、集中力偶作用处、分布载荷开始和结束处），梁的弯矩方程和弯矩图应该分段。对于剪力方程和剪力图，也应分段（注意：此处外力不连续，不包括集中力偶的情形）。2、梁上集中力作用处，剪力图有突变，其左右两侧横截面上剪力的代数差，即等于集中力的值。而在弯矩图上相应处形成一个尖角（例题4-3）。3、在集中力偶作用处，剪力图无变化。弯矩图有突变，其左右两侧横截面上弯矩的代数差，等于集中力偶（例题4-4）。例题4-2所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章弯曲应力lxqxqlxF02SlxqxqlxxM0222Ⅲ.弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用例4-2中：)(SxqqdxxdF)(2xFqxqldxxdMsⅢ.弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用)(22xqqxdxMd结论：将弯矩函数M(x)对x求导数，得到剪力函数Fs(x)；将剪力函数Fs(x)对x求导，得到均布载荷的集度q。Ⅲ.弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用M(x),FS(x)与q(x)间微分关系的导出从图a所示简支梁的有分布荷载的区段内，取出长为dx的梁段，如图b所示。这里分布荷载的集度q(x)以向上为正值，且略去荷载集度在微量dx范围内的变化。梁的微段其左、右横截面上的剪力和弯矩均为正值。第四章弯曲应力0dd0SSSxxqxFxFxFFy从而得：xqxxFddS02dddd0SxxxqxxFxMxMxMMC得及00CyMF由梁的微段的平衡方程略去二阶无穷小项，即得2ddxxxqxFxxMSdd第四章弯曲应力应用这些关系时需要注意，向上的分布荷载集度为正值，反之则为负值。由以上两个微分关系式又可得xqxxM