材料力学第5版(孙训方编)第五章

1第五章梁弯曲时的位移§5-1梁的位移——挠度和转角§5-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分§5-3按叠加原理计算梁的挠度和转角§5-6梁内的弯曲应变能§5-5梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施*§5-4梁挠曲线的初参数方程2§5-1梁的位移——挠度和转角直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角位移q称为横截面的转角(angleofrotation)。第五章梁弯曲时的位移3弯曲后梁的轴线——挠曲线(deflectioncurve)为一平坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转角方程：xfwqqtan第五章梁弯曲时的位移4直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。第五章梁弯曲时的位移(a)(b)5在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负。第五章梁弯曲时的位移6§5-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分Ⅰ.挠曲线近似微分方程的导出在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。EIM1第五章梁弯曲时的位移7在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响。但工程上常用的梁其跨长l往往大于横截面高度h的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有注意：对于有些l/h10的梁，例如工字形截面等直梁，如同在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不锈钢制作，而主要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制作，此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。EIxMxx1第五章梁弯曲时的位移8从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作2/3211wwx式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w是q=w'沿x方向的变化率，是有正负的。第五章梁弯曲时的位移9第五章梁弯曲时的位移再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w，正弯矩对应于负值的w，故从上列两式应有由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程:EIxMww2/321EIxMw10Ⅱ.挠曲线近似微分方程的积分及边界条件求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为后进行积分，再利用边界条件(boundarycondition)确定积分常数。xMwEI第五章梁弯曲时的位移EIxMw11当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时(例如图中所示情况)有1dCxxMwEI第五章梁弯曲时的位移21ddCxCxxxMEIw以上两式中的积分常数C1，C2由边界条件确定后即可得出梁的转角方程和挠曲线方程。12边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如下图所示。第五章梁弯曲时的位移13若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件(constraintcondition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件(continuitycondition)。这两类条件统称为边界条件。第五章梁弯曲时的位移14例题5-1试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。第五章梁弯曲时的位移15解：该梁的弯矩方程为挠曲线近似微分方程为以x为自变量进行积分得xlFxMxlFxMwEI122CxlxFwEI于是得0021CC，该梁的边界条件为：在x=0处，w=00w第五章梁弯曲时的位移213262CxCxlxFEIw16从而有转角方程EIFxEIFxlw22q挠曲线方程EIFxEIlFxw6232根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。第五章梁弯曲时的位移17可见该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。于是有EIFlEIFlEIFlwwlx362|333max22|222maxEIFlEIFlEIFllxqq第五章梁弯曲时的位移18由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分方程进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数是有其几何意义的：001|qEIwEICx002|EIwEIwCx此例题所示的悬臂梁，q0=0，w0=0，因而也有C1=0，C2=0。第五章梁弯曲时的位移19两式中的积分在坐标原点处(即x=0处)总是等于零，从而有001|qEIwEICx002|EIwEIwCx事实上，当以x为自变量时1dCxxMwEI21d]d[[CxCxxxMEIw第五章梁弯曲时的位移20思考:试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线方程和转角方程。积分常数C1和C2等于零吗？第五章梁弯曲时的位移21例题5-2试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。第五章梁弯曲时的位移22解：该梁的弯矩方程为挠曲线近似微分方程为以x为自变量进行积分得：222212xlxqqxxqlxM22xlxqxMwEI132322CxlxqwEI21431262CxCxlxqEIw第五章梁弯曲时的位移23该梁的边界条件为在x=0处w=0，在x=l处w=0于是有01262|01442lCllqEIwClx及即024231CqlC，从而有转角方程3234624xlxlEIqwq挠曲线方程323224xlxlEIqxw第五章梁弯曲时的位移24根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相等，且均为最大值，故最大挠度在跨中，其值为EIqlBA243maxqqqEIqlllllEIlqwwlx3845222242|43232max第五章梁弯曲时的位移25例题5-3试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。第五章梁弯曲时的位移26解：约束力为两段梁的弯矩方程分别为为了后面确定积分常数的方便，右边那段梁的弯矩方程M2(x)仍取x截面左边的梁为分离体，使方程M2(x)中的第一项与方程M1(x)中的项相同。laFFlbFFBA，axxlbFxFxMA01lxaaxFxlbFaxFxFxMA2第五章梁弯曲时的位移27两段梁的挠曲线近似微分方程亦需分段列出，并分别进行积分：挠曲线近似微分方程xlbFxMwEI11积分得1212CxlbFwEI11316DxCxlbFEIwaxFxlbFxMwEI22222222CaxFxlbFwEI2233266DxCaxFxlbFEIw左段梁右段梁ax0lxa第五章梁弯曲时的位移28值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时，对于含有(x-a)的项没有以x为自变量而是以(x-a)作为自变量进行积分的，因为这样可在运用连续条件w1'|x=a=w2'|x=a及w1|x=a=w2|x=a确定积分常数时含有(x-a)2和(x-a)3的项为零而使工作量减少。又，在对左段梁进行积分运算时仍以x为自变量进行，故仍有C1=EIq0，D1=EIw0。第五章梁弯曲时的位移29该梁的两类边界条件为支座约束条件：在x=0处w1=0，在x=l处w2=0连续条件：在x=a处，w1=w221ww第五章梁弯曲时的位移由两个连续条件得：由支座约束条件w1|x=0=0得2121DDCC，01D02D从而也有30由另一支座约束条件w2|x=l=0有06|2332lCalFbllbFEIwlx即2226bllFbC从而也有2216bllFbC第五章梁弯曲时的位移31从而得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下：左段梁右段梁)0(ax)(lxa22211312xbllEIFbwq22216xbllEIFbxw222222312blxaxbllEIFbwqxblxaxbllEIFbw223326第五章梁弯曲时的位移32左、右两支座处截面的转角分别为lEIblFablEIblFbxA66|2201qqlEIalFablxB6|2qq当ab时有6maxlEIalFabBqq第五章梁弯曲时的位移33323221baablx显然，由于现在ab，故上式表明x1a，从而证实wmax确实在左段梁内。将上列x1的表达式代入左段梁的挠曲线方程得3221max39|1bllEIFbwwxx根据图中所示挠曲线的大致形状可知，最大挠度wmax所在处在现在的情况下应在左段梁内。令左段梁的转角方程等于零，得0w1w第五章梁弯曲时的位移34由上式还可知，当集中荷载F作用在右支座附近因而b值甚小，以致b2和l2相比可略去不计时有EIFblEIFblw22max0642.039它发生在处。而此时处(跨中点C)的挠度wC为llx577.031llx500.02EIFblEIFblblEIFbwwlxC2222210625.0164348|3221max39|1bllEIFbwwxx第五章梁弯曲时的位移35当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(b=l/2)，最大转角qmax和最大挠度wmax为EIFlBA162maxqqqEIFlwwC483max可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨中挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有拐点都可以跨中挠度代替最大挠度。第五章梁弯曲时的位移36思考:试绘出图示两根简支梁的弯矩图，并描出它们的挠曲线。并指出：(1)跨中挠度是否最大？(2)跨中挠度的值是否接近最大挠度值？第五章梁弯曲时的位移l/4l/237§5-3按叠加原理计算梁的挠度和转角当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加原理(principleofsuperposition)。第五章梁弯曲时的位移38悬臂梁和简支梁在简单荷载(集中荷载，集中力偶，分布荷载)作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的附录Ⅳ中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面的挠度和转角。第五章梁弯曲时的位移39例题5-5试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面