第三章--轴向拉压变形

第三章轴向拉压变形Page1上一讲回顾(3)•许用应力极限应力n安全因数•强度条件(变截面)(等截面)•由强度条件解决的几类问题强度校核截面设计确定承载能力等强原则与最轻重量设计•连接部分的强度计算（假定计算法）nnsub（塑）（脆）NFAmaxmax,maxNFAsbbsbssFF,Ad＃安全因数法的优缺点◎结构可靠性设计概念第三章轴向拉压变形Page2第三章轴向拉压变形§3-1引言§3-3桁架的节点位移§3-4拉压与剪切应变能§3-5简单拉压静不定问题§3-6热应力与预应力§3-2拉压杆的变形与叠加原理§3-7拉压杆弹塑性分析简介§3-8结构优化设计概念简介第三章轴向拉压变形Page3本章主要研究:轴向拉压变形分析的基本原理简单拉压静不定问题分析结构优化设计概念简介热应力与预应力分析第三章轴向拉压变形Page4思考：为什么要研究变形？下述问题是否与变形（小变形）相关？•各杆内力？•A点位移?•各杆材料不同，温度变化时内力？AF123AF45§3-1引言第三章轴向拉压变形Page5胡克的弹性实验装置历史回顾：“胡克定律”1678年由RobertHooke提出。Hooke是伦敦皇家学会第一任会长(1662)，他对弹性体作了许多实验，他与牛顿是同时代人，没有受牛顿影响而系统地阐述了万有引力定律。§3-2拉压杆的变形与叠加原理一、拉压杆的轴向变形与胡克定律中国郑玄（127-200）在《考工记·弓人》的注就提到弓的“每加物一石(dàn,10斗）)，则张一尺”。唐初贾公考又对郑注作了详细解释。第三章轴向拉压变形Page6胡克定律拉压杆的轴向变形与胡克定律FFl1l1bbp()ENFllEA拉压刚度llEAFNNFA，ll•轴向变形1ll-l•横向变形(伸长为正)1bbb适用范围：线弹性体，比例极限范围内第三章轴向拉压变形Page7二、拉压杆的横向变形与泊松比试验表明：对传统材料，在比例极限内，且异号。——泊松比FFl1l1bb1bbb()00.5,bb横向正应变定义：第三章轴向拉压变形Page81802年任巴黎理学院教授(21岁)，1812年当选为法国科学院院士(31岁)，1816年应聘为索邦大学教授，1826年被选为彼得堡科学院名誉院士.1837年被封为男爵。材料泊松比由他最先计算此值而得名。在数学中以他命名的有：泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程、泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松流、泊松核、泊松括号、泊松稳定性、泊松积分表示、泊松求和法……等。泊松(1781-1840)是法国数学家、物理学家和力学家。1798年入巴黎综合工科学校，成为拉格朗日、拉普拉斯的得意门生。第三章轴向拉压变形Page9许多人进行试验来验证泊松比为1/4的理论结论维尔泰姆(1848)：试验结果表明接近1/3；基尔霍夫(1859)：测出了三种钢材和两种黄铜，1/4；科尔纽(1869)：光学干涉法测出玻璃=0.237;1879年，马洛克测出了一系列材料的泊松比，指出泊松比是独立的材料常数，否定了单常数理论。1829年，泊松用纳维—柯西方法讨论板的平衡问题时指出，各向同性弹性杆受到单向拉伸，产生纵向应变，同时会联带产生横向收缩，此横向应变为-x，并得出=1/4。纳维—柯西—泊松的单常数理论泊松比研究简史第三章轴向拉压变形Page10典型材料常数对于各向同性材料，三个材料常数存在如下关系：2(1)EG弹性常数钢与合金钢铝合金铜铸铁木(顺纹)E/GPa200-22070-72100-12080-1608-120.25-0.300.26-0.340.33-0.350.23-0.27第三章轴向拉压变形Page11例：已知E，D，d，F，求D和d的改变量。FFdD思考：当圆管受拉时，外径减小，内径增大还是减小？第三章轴向拉压变形Page12例：已知E，D，d，F，求D和d的改变量。FFdD()FFEAEDdE224()FDdE224解：()224FDDDDdE先求内周长,设ds弧长改变量为du,’＝du/dsdu=’dsddsu0ddsEdDF022)(4EdDFd)(422udEdDFd)(422d第三章轴向拉压变形Page13NFxO三、多力杆的变形与叠加原理例：已知E，A1，A2，求总伸长l解：1.内力分析。轴力图2.变形计算。（用何方法？）方法一：多载荷作用下各段变形叠加步骤：*用截面法分段求轴力；*分段求出变形；*求代数和。312123123FlFlFlllllEAEAEAFF1l2l3lF2FA1A2123,NNNFFFFF第三章轴向拉压变形Page14•一般阶梯形杆：讨论：n－总段数FNi－杆段i轴力N1niiiiiFllEA)(d)()d(NxEAxxFl•变截面变轴力杆N()()lFxldxEAx第三章轴向拉压变形Page15解法二：各载荷效应叠加与解法一结果一致，引出叠加原理1l2l3lF2F()aFllFllEAEA23112121222bFlFllEAEA312123abFlFlFllllEAEAEA1l2l3lF1l2l3l2F(a)(b)例：已知E，A1，A2，求总伸长（续）l第三章轴向拉压变形Page16叠加原理：几个载荷同时作用所产生的总效果，等于各载荷单独作用产生的效果的总和。叠加原理的适用范围*材料线弹性*小变形*结构几何线性第三章轴向拉压变形Page17叠加原理成立。*12,lll材料线性问题*12,lll叠加原理不成立。材料非线性问题Fl1F1lOFl2F2lO12FF*lFl1F1lOFl1F1lOFl2F2lOFl12FF2l1lOl*1F第三章轴向拉压变形Page18*几何非线性问题例讨论：1.C点位移是否与载荷成正比关系？2.叠加原理是否成立？NFNFCFllFCABF求与关系。例：已知，,,FlEA初始两杆水平，设材料线弹性，且结构小变形，第三章轴向拉压变形Page19(2)杆伸长：解：(1)节点C平衡：(4)N2sinFF2N2FlFllEAEA(3)关系：l()222/2llll3232EAlEAFll(三次抛物线关系,瞬时机构,叠加原理不成立)sin/l(微小)NFNFCFllFCAB例：已知，,,FlEA初始两杆水平，设材料线弹性，且结构小变形，F求与关系。第三章轴向拉压变形Page20解：距端点x处截面的轴力为总伸长为l()qxxdx()NFxq例：已知，求,,,qlEAl()NFxqx()()NFxdxqxdxdlEAEA()llqxdxqldxldlEAEA2002(1)为常量qdx微段伸长第三章轴向拉压变形Page21l()qxxdx()NFxdxd()NFxx例：已知，求（续1:分析方法）,,,qlEAl需两次积分，第一次求轴力，第二次求总伸长。(2)为变量()qqx()()FxdxdlEAN求解难点讨论如何写出表达式？在x段再建立坐标系,取d微段研究()NFx第三章轴向拉压变形Page22qddmAd22()解：1、叶片的外力作用于微段上的离心力为d例：图示涡轮叶片，已知，角速度，求叶片横截面上的正应力与轴向变形。,,AE第三章轴向拉压变形Page232、叶片的内力与应力3、叶片的变形()()02222N02RxAFxAdRx()()22202xRx()()NFxdxdlEA()()02N32300236iRiiRFxldxRRRREAEdx微段:总伸长：qddmAd22()第三章轴向拉压变形Page24§3-3桁架的节点位移例：已知,求桁架节点A的水平与铅垂位移解：1、轴力与两杆伸长（缩短）(拉)N12FF(压)N2FF(伸长)N11111222FlFlFllEAEAEA(缩短)N22222FlFllEAEA1452ABCF45AFFN2FN111222,EAEAEAll由节点A的平衡由胡克定律第三章轴向拉压变形Page25A•精确位移求法：•计算困难：需解二次方程组由于内力随位移变化，需迭代求解.1452ABCF以B、C为圆心作圆交于A’点l1A1A2l2杆1伸长到点，杆2缩短到点，1A2Al1l22、节点A的位移的精确计算及其困难。第三章轴向拉压变形Page26小变形：与结构原尺寸相比为很小的变形。实用解法：*按结构原几何形状与尺寸计算约束反力与内力；*采用切线代圆弧的方法确定节点位移。1452ACBAA1A2AF3、小变形问题实用解法第三章轴向拉压变形Page274、节点位移计算()xFlAAAlEA22()()1222cos45221ylFlFlAlEAEAFlEA1452ABCA1A2A第三章轴向拉压变形Page28例：ABC刚性杆，求节点C的位移。然后画B点位移思考：有同学问BB’,CC’铅垂向下，刚性杆ABC杆为什么能伸长？再画C点位移答：切线代圆弧的近似。FBCyyCBl124ABCo301解：先计算杆1内力与伸长l1NF1第三章轴向拉压变形Page29例：画出节点A的位移杆两端均为可动点情形：平移+变形(伸长或缩短)+转动(切线代圆弧)AFAFAA第三章轴向拉压变形Page30例：画节点A的位移*左图杆2不受力，不伸长转动。A1lFA12•右图B点位移由杆1和2确定（与左图A点相同）;FA12B3•杆3伸长到A’’，然后转动，与刚性梁对应点交于A’’’点。•此题3杆的伸长量包含受杆1，2而伸长的量，杆3伸长量决定横梁顺转或逆转。•刚梁AB先随B点平动，B至B’点,A至A’点；然后绕B’点转动；AABA'''思考：点A有无水平位移？第三章轴向拉压变形Page31*设想固定BD中点和BD方位例：求A，C相对位移2'ACCCFFABCDCO*D点随OD杆变形发生位移，DC杆平移、伸长、转动，由对称性，C点到达C’点。第三章轴向拉压变形Page32§3-4拉压与剪切应变能两条平行的研究途径(从物理、理力到材力)方法一：方法二：hhvv1m2m1m2mTT1mg2mgTmgmgTammmmgamm12122112()2112()mmgamm2212121122EmVmVmghmgh0Et由例：无摩擦，求21,mma第三章轴向拉压变形Page33•功能原理成立条件：载体由零逐渐缓慢增加，动能与热能等的变化可忽略不计。FF•应变能（）：构件因变形贮存能量。V•外力功():构件变形时，外力在相应位移上做的功。W外力功、应变能与功能原理（根据能量守恒定律）WVε•弹性体功能原理：第三章轴向拉压变形Page34一、轴向拉压应变能*线弹性材料•拉压杆应变能fdfdFdAoff2N22FlFlEAε,VWEAlFV22Nεdd,WfΔfW0d•外力功2FlW•弹性体功能原理：•对线弹性体：（如何推导）第三章轴向拉压变形Page35*非线性弹性材料Fof2FW0Wfd•外力功计算•应变能如何计算计算?•功能原理是否成立?ε?VW*塑性与非弹性材料ε?VW第三章轴向拉压变形Page36二、拉压与剪切应变能密度单向受力dxdydzxyz221222vEE应变能密度：