孙训方材料力学04弯曲应力

材料力学1第四章弯曲应力§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图§4-2梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图§4-3平面刚架和曲杆的内力图§4-4梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件§4-5梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件§4-6梁的合理设计材料力学§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图基本概念及工程实例材料力学3材料力学4Ⅰ.关于弯曲的概念受力特点：杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。变形特点：直杆的轴线在变形后变为曲线。梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。第四章弯曲应力材料力学5ABP1P2RARB纵向对称面梁的轴线第四章弯曲应力梁变形后的轴线与外力在同一平面内材料力学6对称弯曲——外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。第四章弯曲应力*本章只讨论对称弯曲时梁的内力、应力和变形*材料力学（3）支座的类型（1）梁的简化—取梁的轴线来代替梁。（2）荷载类型集中力集中力偶分布荷载可动铰支座FRAAAAAⅡ.梁的计算简图材料力学固定铰支座固定端AAAFRAyAFRAxFRyFRxM材料力学9悬臂梁(4)梁的基本形式简支梁外伸梁第四章弯曲应力材料力学10在竖直荷载作用下，梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。(5)静定梁和超静定梁梁的约束力不能单独利用平衡方程确定，称为超静定梁。第四章弯曲应力固定梁半固定梁连续梁材料力学11练习：试求图a所示有中间铰C的梁A、B处的约束力。第四章弯曲应力解：1.此梁左端A为固定端，有3个未知约束力FAx，FAy和MA；右端B处为可动铰支座，有1个未知约束力FBy。此梁总共有4个未知支约束力。F=50KNq=20KN/mMe=5KN·mABKDCE1m0.5m1m3m1m材料力学12此梁具有中间铰C，且铰不能传递力矩，则还可列出1个独立的平衡方程。这样就可利用4个平衡方程求解4个未知支约束力。此梁为静定梁。第四章弯曲应力F=50KNq=20KN/mMe=5KN·mABKDCEFAyFAxMA材料力学130,0AxxFF3330N5010N1m20103m4m510Nmm6.5m0AAByMMF第四章弯曲应力kN0,50kN203m0myAyByFFFF=50KNq=20KN/mMe=5KN·mABKDCEFAyFAxMAFBy1m0.5m1m3m1m材料力学14第四章弯曲应力0m5mN105m2.5m3mN1020033ByCFMq=20KN/mMe=5KN·mBKDCFCyFCx1m3m1mFBykN29ByFmkN5.96AM81kNAyF得：0kNAxF材料力学15思考：1.如果上述例题中所示的梁上，没有原来的荷载，但另外加一个作用在中间铰C上的集中荷载F=100kN，试求该梁的约束力。第四章弯曲应力材料力学162.在中间铰C的左侧加一个力矩为Me的力偶和在中间铰C的右侧加一力矩同样大小的力偶，它们产生的约束力是否一样？第四章弯曲应力材料力学17§4-2梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图Ⅰ.梁的剪力和弯矩第四章弯曲应力求内力：解:求支座反力BAalFFRAyFRAxFRBABF00RAxxFFlFaFMBAR0lalFFFAyy)(0R材料力学求内力—截面法弯曲构件内力：弯矩、剪力FRAyFRAxFRBABFmmxMFSFRAyC取截面左部分为隔离体lalFFFFAyy)(0RSxlalFxFMMAyC)(0R材料力学剪力符号左上右下为正内力的符号规定左下右上为负dxmmFS-FSdxmmFS+材料力学下侧受拉为正上侧受拉为负弯矩符号mm+（下侧受拉）MMmm（下侧受压）MM-材料力学解：（1）求支反力FRA和FRB【练习】图示梁的计算简图。已知F1、F2，且F2F1，a、b、c、l亦均为已知。试求梁在E、F横截面处的剪力和弯矩。021RbFaFlFB12R0ARBFFFFlblFalFFA)()(21RlbFaFFB21RFRBFRABdEDAabclCFF1F20AM0yF材料力学(2)求E截面的剪力FSE和弯矩ME00SREAyFF,F0,0RcFMMAEEAEFFRSAEcFMRFRBBEAclF1F2FRAAEcFSEFRAME取截面左部分为隔离体材料力学（3）计算横截面F的剪力FSF和弯矩MF。FRBBdAlFF1F2FRAFdBFSFMFFRBRS00yBFFFFR00FFBMdFMBFdFMRBFFFRS材料力学左侧梁段:向上的外力引起正值的剪力；向下的外力引起负值的剪力。右侧梁段：向下的外力引起正值的剪力；向上的外力引起负值的剪力。内力计算规律剪力niiFF)(1S右左AEFFRSAEcFSEFRAMEFdBFSFMFFRBBFFFRS左上右下得正材料力学左侧梁段顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩；逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩右侧梁段逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩；顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩mkkiniiMaFM)(1)(1右左右左弯矩AEcFMRAEcFSEFRAMEFdBFSFMFFRBBFdFMR左顺右逆得正材料力学【练习】轴的计算简图如图所示，已知F1=F2=F=60kN，a=230mm，b=100mm和c=1000mm。求横截面C、D上的剪力和弯矩。解：（1）求支座反力kN60RRFFFBAF2=FACDBbacF1=FFRAFRB材料力学（2）计算横截面C上的剪力FSC和弯矩MC看左侧kN601SFFCmkN061.bFMC（3）计算横截面D上的剪力FSD和弯矩MD060601RSFFFADmkN8.13)(1RFacFacFMADF2=60ACDB1002301000F1=6060kN60kN看左侧材料力学28Ⅱ.剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图第四章弯曲应力M=M(x)剪力方程和弯矩方程—沿梁轴线各横截面上用函数关系表示的剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程。剪力方程FS=FS(x)弯矩方程材料力学弯矩图为正、负值均画在梁的受拉侧剪力图和弯矩图剪力图为正值画在梁轴上侧，负值画在梁轴下侧以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩。这种图线分别称为剪力图和弯矩图。材料力学例4-2图示简支梁受集度为q的均布荷载。试作此梁的剪力图和弯矩图。解：（1）求支反力2ABqlFF（2）列剪力方程和弯矩方程S()(0)2AqlFxFqxqxxlFAFBlqABx2()(0)222AxqlxqxMxFxqxxlFSMqAxFA材料力学剪力图x=0x=l2SqlF右2SqlF左lqFRAFRBABx)0(2)(SlxqxqlxF+ql/2ql/2材料力学()d0d2MxqlqxxM有极值2lx822maxqlMMlx弯矩图)0(22)(2lxqxqlxxMlqFRAFRBABxx=0x=l0M0M+82qll/2材料力学由图可见：梁在跨中截面上的弯矩值为最大此截面上FS=0两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大82maxqlM2maxSqlFlqFRAFRBABx+ql/2ql/2+82qll/2材料力学解:（1）求支反力例4-3图示简支梁在C点处受集中荷载F作用。试作此梁的剪力图和弯矩图。AFbFlBFaFllFABCabFAFB(2)求AC段内力)1()0()(SaxlFbxF)2()0()(axxlFbxMx1材料力学)3()()()(SlxalFalblFFlFbxFABFBlFCabFAx)4()()()()(lxaxllFaaxFxlFbxM2(2)求CB段内力第四章弯曲应力材料力学由(1)、(3)两式作梁的剪力图如图。+lFblFa由(2)、(4)两式作梁的弯矩图如图。lFABCabFRAFRBxx)1()0()(SaxlFbxF)3()()(SlxalFaxF)2()0()(axxlFbxM)4()()()(lxaxllFaxM+lFba材料力学由图可见：在集中荷载作用处的左、右两侧截面上剪力图(值)有突变—突变值等于集中荷载F。弯矩图转折，该处弯矩值最大。+lFblFalFABCabFRAFRBxx+lFba材料力学解：求支反力例4-4图示简支梁在C处有集中力偶M的作用。试作梁的剪力图和弯矩图。将坐标原点取在梁的A端由(1)式作梁的剪力图如图+MllABCabMFAFBlMFBRlMFAR)1()0()(SlxlMxF第四章弯曲应力材料力学AC段CB段+MalMbllABCabFRAFRBM)2()0()(axxlMxM)3()()()(lxaxllMxMlMbMaxC右:lMaMaxC左:由(2)、(3)式作梁的弯矩图如图第四章弯曲应力材料力学梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩图(值)发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。此处剪力图没有变化。lABCabFRAFRBM+Ml+MalMbl第四章弯曲应力材料力学2、根据荷载作用的特点将梁分段，列出每段剪力方程和弯矩方程，然后绘出剪力图和弯矩图。1、取梁的左端点为坐标原点，x轴向右为正；剪力图正值画在上侧，负值画在下侧；弯矩图画在受拉侧。小结3、梁上集中力作用处左、右两侧截面剪力图有突变，突变值等于集中力的数值。此处弯矩图发生转折。4、梁上集中力偶作用处左、右两侧截面上的弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。此处剪力图没有变化。第四章弯曲应力材料力学42思考1：一简支梁受移动荷载F作用，如图所示。试问：(a)此梁横截面上的最大弯矩是否一定在移动荷载作用处？(b)荷载F移动到什么位置时此梁横截面上得到最大弯矩？该最大弯矩又是多少？第四章弯曲应力ABFlx材料力学解:设F在距左支座A为x的任意位置。荷载在任意位置时，支反力为lxlFFA)(RlFxFBR当荷载F在距左支座为x的任意位置C时，梁的弯矩为xlxlFxFMAC)(R0ddxMC2lxABFlx第四章弯曲应力材料力学计算结果说明：当移动荷载F在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大。代入上式将2lxFlM41maxxlxlFMC)(第四章弯曲应力材料力学45思考2：根据对称性与反对称性判断下列说法是否正确。(a)结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称，剪力图为反对称；(b)结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，剪力图为正对称。第四章弯曲应力材料力学qqa2a(a)qqa2(b)aaaaa思考3图示(a)、(b)两根梁，它们的(A)剪力图、弯矩图都相同(B)剪力图相同，弯矩图不同(C)剪力图不同，弯矩图相同(D)剪力图、弯矩图都不同材料力学设梁上作用有任意分布荷载，其集度q=q(x)设q(x)向上为正将x轴的坐标原点取在梁的左端。xyq(x)FMⅢ.弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用第四章弯曲应力材料力学xyq(x)FMFS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)用坐标为x和x+dx的两横截面m-m和n-n从梁中取出dx微段。n-n截面内力为FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)由于dx很小，略去q(x)沿dx的变化。m-m截面上内力为FS(x)，M(x)nxmmndxmmnnq(x)C第四章弯曲应力材料力学02d)d(d)()(])(d)([0SxxxqxxFxMxMxMMCdx微段的平衡方程SSS0()[()d()]