搜索
光的衍射（附答案）一．填空题1.波长λ=500nm（1nm=10−9m）的单色光垂直照射到宽度a=0.25mm的单缝上，单缝后面放置一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹．今测得屏幕上中央明条纹之间的距离为d=12mm，则凸透镜的焦距f为1m．2.在单缝夫琅禾费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小，若钠黄光（λ1≈589nm）中央明纹宽度为4.0mm，则λ2≈442nm（1nm=10−9m）的蓝紫色光的中央明纹宽度为3.0mm．3.平行单色光垂直入射在缝宽为a=0.15mm的单缝上，缝后有焦距为f=400mm的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕．现测得屏幕上中央明纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8mm，则入射光的波长为500nm（或5×10−4mm）．4.当一衍射光栅的不透光部分的宽度b与透光缝宽度a满足关系b=3a时，衍射光谱中第±4,±8,…级谱线缺级．5.一毫米内有500条刻痕的平面透射光栅，用平行钠光束与光栅平面法线成30°角入射，在屏幕上最多能看到第5级光谱．6.用波长为λ的单色平行红光垂直照射在光栅常数d=2μm（1μm=10−6m）的光栅上，用焦距f=0.500m的透镜将光聚在屏上，测得第一级谱线与透镜主焦点的距离l=0.1667m，则可知该入射的红光波长λ=632.6或633nm．7.一会聚透镜，直径为3cm，焦距为20cm．照射光波长550nm．为了可以分辨，两个远处的点状物体对透镜中心的张角必须不小于2.24×10−5rad．这时在透镜焦平面上两个衍射图样中心间的距离不小于4.47μm．8.钠黄光双线的两个波长分别是589.00nm和589.59nm（1nm=10−9m），若平面衍射光栅能够在第二级光谱中分辨这两条谱线，光栅的缝数至少是500．9.用平行的白光垂直入射在平面透射光栅上，波长为λ1=440nm的第3级光谱线将与波长为λ2=660nm的第2级光谱线重叠（1nm=10−9m）．10.X射线入射到晶格常数为d的晶体中，可能发生布拉格衍射的最大波长为2d．二．计算题11.在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长λ1和λ2，垂直入射于单缝上．假如λ1的第一级衍射极小与λ2的第二级衍射极小相重合，试问：(1)这两种波长之间有何关系？(2)在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其它极小相重合？解：(1)由单缝衍射暗纹公式得asinθ1=1λ1asinθ2=2λ2由题意可知θ1=θ2,sinθ1=sinθ2代入上式可得λ1=2λ2(2)asinθ1=k1λ1=2k1λ2(k1=1,2,…)sinθ1=2k1λ2/aasinθ2=k2λ2(k2=1,2,…)sinθ2=2k2λ2/a若k2=2k1，则θ1=θ2，即λ1的任一k1级极小都有λ2的2k1级极小与之重合．12.在单缝的夫琅禾费衍射中，缝宽a=0.100mm，平行光垂直如射在单缝上，波长λ=500nm，会聚透镜的焦距f=1.00m．求中央亮纹旁的第一个亮纹的宽度Δx．解：单缝衍射第1个暗纹条件和位置坐标x1为asinθ1=λx1=ftanθ1≈fsinθ1≈fλ/a(∵θ1很小)单缝衍射第2个暗纹条件和位置坐标x2为asinθ2=2λx2=ftanθ2≈fsinθ2≈2fλ/a(∵θ2很小)单缝衍射中央亮纹旁第一个亮纹的宽度Δx1=x2−x1≈f(2λ/a−λ/a)=fλ/a=1.00×5.00×10−7/(1.00×10−4)m=5.00mm．13.在单缝夫琅禾费衍射中，垂直入射的光有两种波长，λ1=400nm，λ2=760nm（1nm=10−9m）．已知单缝宽度a=1.0×10−2cm，透镜焦距f=50cm．(1)求两种光第一级衍射明纹中心间的距离．(2)若用光栅常数a=1.0×10-3cm的光栅替换单缝，其它条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离．解：(1)由单缝衍射明纹公式可知asinφ1=12(2k+1)λ1=12λ1（取k=1）asinφ2=12(2k+1)λ2=32λ2tanφ1=x1/f，tanφ2=x1/f由于sinφ1≈tanφ1，sinφ2≈tanφ2所以x1=32fλ1/ax2=32fλ2/a则两个第一级明纹之间距为Δx1=x2−x1=32fΔλ/a=0.27cm(2)由光栅衍射主极大的公式dsinφ1=kλ1=1λ1dsinφ2=kλ2=1λ2且有sinφ=tanφ=x/f所以Δx1=x2−x1=fΔλ/a=1.8cm14.一双缝缝距d=0.40mm，两缝宽度都是a=0.080mm，用波长为λ=480nm（1nm=10−9m）的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f=2.0m的透镜．求：(1)在透镜焦平面的屏上，双缝干涉条纹的间距l；(2)在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉数目N和相应的级数．解：双缝干涉条纹(1)第k级亮纹条件：dsinθ=kλ第k级亮条纹位置：x1=ftanθ1≈fsinθ1≈kfλ/d相邻两亮纹的间距：Δx=xk+1−xk=(k+1)fλ/d−kλ/d=fλ/d=2.4×10−3m=2.4mm(2)单缝衍射第一暗纹：asinθ1=λ单缝衍射中央亮纹半宽度：Δx0=ftanθ1≈fsinθ1≈kfλ/d=12mmΔx0/Δx=5∴双缝干涉第±5级主极大缺级．∴在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N=9分别为k=0,±1,±2,±3,±4级亮纹或根据d/a=5指出双缝干涉缺第±5级主极大，同样可得出结论。15.用钠光（λ=589.3nm）垂直照射到某光栅上，测得第三级光谱的衍射角为60°．(1)若换用另一光源测得其第二级光谱的衍射角为30°，求后一光源发光的波长．(2)若以白光（400nm~760nm）照射在该光栅上，求其第二级光谱的张角．解：(1)(a+b)sinφ=3λa+b=3λ/sinφ，φ=60°a+b=2λ'/sinφ'，φ'=30°3λ/sinφ=2λ'/sinφ'λ'=510.3nm(2)a+b=3λ/sinφ=2041.4nmφ2'=arcsin(2×400/2041.4)nm(λ=400nm)φ2''=arcsin(2×760/2041.4)nm(λ=760nm)白光第二级光谱的张角Δφ=φ2''−φ2'=25°16.一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光栅有两种波长的光，λ1=440nm，λ2=660nm．实验发现，两种波长的谱线（不计中央明纹）第二次重合于衍射角φ=60°的方向上，求此光栅的光栅常数d．解：由光栅衍射主极大公式得dsinφ1=kλ1dsinφ2=kλ2sinφ1sinφ2=k1λ1k2λ2=440k1660k2=2k13k2当两谱线重合时有φ1=φ2即k1k2=32=64=96=∙∙∙两谱线第二次重合即是k1k2=64，k1=6，k2=4由光栅公式可知dsin60°=6λ1∴d=6λ1sin60°=3.05×10−3mm17.将一束波长λ=589nm（1nm=10−9m）的平行钠光垂直入射在1厘米内有5000条刻痕的平面衍射光栅上，光栅的透光缝宽度a与其间距b相等，求：(1)光线垂直入射时，能看到几条谱线？是哪几级？(2)若光线以与光栅平面法线的夹角θ=60°的方向入射时，能看到几条谱线？是哪几条？解：(1)(a+b)sinϕ=kλ当ϕ=π/2时，k=(a+b)/λ=3.39，kmax=3又∵a=b，(a+b)sinϕ=2asinϕ=kλ有谱线asinϕ=kλ/2但当k=±2,±4,±6,…时缺级．∴能看到5条谱线，为0,±1,±3级．(2)(a+b)(sinθ+sinϕ)=kλ，θ=30°，ϕ=±90°ϕ=π2，k=(a+b)(sin30°+sin90°)/λ=5.09．取kmax=5ϕ=−π2，k=(a+b)(sin30°−sin90°)/λ=−1.7．取k'max=−1∵a=b∴第2,4,…级缺级．∴能看到5条谱线，为+5,+3,+1,0,−1级．18.波长λ=600nm（1nm=10−9m）的单色光垂直入射到一光栅上，测得第二级主极大的衍射角为30°，且第三级是缺级．(1)光栅常数(a+b)等于多少？(2)透光缝可能的最小宽度a等于多少？(3)在选定了上述(a+b)和a之后，求在衍射角–π2φπ2范围内可能观察到的全部主极大的级次．解：(1)由光栅衍射的主极大公式得a+b=kλsinφ=2.4×10−4cm(2)若第三级不缺级，则由光栅公式得(a+b)sinφ'=3λ由于第三级缺级，则对应于最小可能的a，φ'方向应是单缝衍射第一级暗纹：两式比较，得asinφ'=λa=a+b3=8.0×10−3cm(3)(a+b)sinφ=kλ（主极大）asinφ=k'λ（单缝衍射极小）(k'=1,2,3,…)因此k=3,6,9,…缺级；又∵kmax=a+bλ=4，∴实际呈现出的是k=0,±1,±2级明纹（k=±4在π/2处不可见）．19.在通常亮度下，人眼瞳孔直径约为，若视觉感受最灵敏的光波长为λ=480nm（1nm=10−9m），试问：(1)人眼最小分辨角是多大？(2)在教室的黑板上，画的等号两横线相距2mm，坐在距黑板10m处的同学能否看清？（要有计算过程）解：(1)已知得d=3mm，λ=550nm，人眼的最小分辨角为：θ=1.22λ/d=2.24×10−4rad(2)设等号两横线相距Δx=2mm时，人距黑板刚好看清，则l=Δx/θ=8.9m所以距黑板10m处的同学看不清楚．20.一平面透射多缝光栅，当用波长λ1=600nm（1nm=10−9m）的单色平行光垂直入射时，在衍射角θ=30°的方向上可以看到第2级主极大，并且在该处恰能分辨波长差Δλ=5×10−3nm的两条谱线．当用波长λ2=400nm的单色平行光垂直入射时，在衍射角θ=30°的方向上却看不到本应出现的第3级主极大．求光栅常数d和总缝数N，再求可能的缝宽a．解：根据光栅公式dsinθ=kλ1得d=1sink=2×600sin30°=2.4×10−3nm=2.4μm据光栅分辨本领公式R=λ1/Δλ=kN得N=λ1kΔλ=60000在θ=30°的方向上，波长λ2=400nm的第3级主极大缺级，因而此处一定恰好是波长为λ2入射光单缝衍射的一个极小出现的位置。故有：dsin30°=3λ2，asin30°=k'λ2∴a=k'd/3,k'=1或2缝宽a有下列两种可能：当k'=1时，a=13d=13×2.4μm=0.8μm当k'=2时，a=23d=23×2.4μm=1.6μm21.某单色X射线以30°角掠射晶体表面时，在反射方向出现第一级极大；而另一单色X射线，波长为0.097nm，它在与晶体表面掠射角为60°时，出现第三级极大．试求第一束X射线的波长．解：设晶面间距为d，第一束X射线波长为λ1，掠射角θ1=30°，级次k1=1；另一束射线波长为λ2=0.097nm，掠射角θ2=60°，级次k2=3．根据布拉格公式：第一束2dsinθ1=k1λ1第二束2dsinθ2=k2λ2两式相除得λ1=k2λ2k1sinθ1sinθ2=0.168nm．