7力法(李廉锟-结构力学)

结构力学11:52合肥工业大学第七章力法§7-1超静定结构概述§7-2超静定次数的确定§7-3力法的基本概念§7-4力法的典型方程§7-5力法的计算步骤和示例§7-6对称性的利用§7-7超静定结构的位移计算结构力学11:52合肥工业大学§7-8最后内力图的校核§7-10支座位移时超静定结构的计算§7-9温度变化时超静定结构的计算§7-11*用弹性中心法计算无铰拱§7-12*两铰拱及系杆拱§7-13超静定结构的特性本章总结本章自测题结构力学11:52合肥工业大学计算超静定结构的位移的目的之一是校核用力法解出的内力状态。超静定结构的位移计算依据：根据基本体系的内力与变形状态等价于原超静定结构的内力与变形状态的原理，求超静定结构的位移可转化为求基本体系（静定结构）的位移。求位移—单位荷载法，图乘法1）求出原结构M图，（求解超静定问题）超静定结构的位移计算步骤：§7-7超静定结构的位移计算结构力学11:52合肥工业大学—ky][KMM以例说明：两次超静定问题简便方法:取基本结构（c）或（d)的与图乘KMM2）任取一力法基本结构，作出基本结构的图M3）图乘为什么可以是任一基本结构？§7-7超静定结构的位移计算结构力学11:52合肥工业大学思考：可否选用悬臂刚架作为基本结构来计算？B解:选取简支刚架作为基本结构，作出其单位力弯矩图。lAEI=常数MBCl/2BCAMM/5图3M/52M/5ACBM11例1：计算图示刚架上BC杆B端的转角位移。B令图与M图相图乘，得1MEImlmlEIB20131532211（）§7-7超静定结构的位移计算结构力学11:52合肥工业大学2.变形条件(位移条件)的校核——检验在计算出来的内力状态下结构是否满足已知位移条件。最后内力图的校核力法计算超静定结构时，应用了位移谐调条件、静力平衡条件。校核超静定结构的内力图时，也要从两方面进行校核。1.平衡条件校核；使结构上的任一部分都处于平衡的解答是否就是问题的正确解？§7-8最后内力图的校核结构力学11:52合肥工业大学例：试校核图示刚架的弯矩图其是否有误。取刚结点C为隔离体,满足平衡条件。lAEI=常数MBCl/2BCAM2M/53M/5M/53M/52M/5MABM1X=图111解:(1)平衡条件校核。(2)校核位移条件。检验C结点两个端面间的相对转角位移是否为零,任取一基本结构作图，令与M相图乘得：1M1MCΔ0]1010[1]1255213253221[1mlmlEIlmmmlEIΔC§7-8最后内力图的校核结构力学11:52合肥工业大学也可取图悬臂刚架作基本结构，计算B点水平位移△xB是否为零。11X=BCA结论：亦满足给定位移条件，原弯矩图是正确的。§7-8最后内力图的校核结构力学11:52合肥工业大学对图示封闭式刚架，任一截面的相对转角均为零。基本体系中单位弯矩引起的弯矩图中各杆的弯矩均为1,则与M图乘时：1MlACDBEIEIEI122ACDBX=1l/2l/2K101EIAEIAΔk在校核任何封闭式刚架的弯矩图时，只需将组成各杆上的弯矩图面积A（含“±”号）除以该杆EI值并相加,其最终的值应为零,否则,其弯矩图有误。§7-8最后内力图的校核结构力学11:52合肥工业大学000333323213123232221211313212111tttXXXXXXXXX以例说明：可用图乘求得，ijdsMhtltNiiit0tMMXMXMXM332211温度变化时会在超静定结构中引起反力和内力，这也是超静定结构的重要特性。AEIBltt12Atttt1212BXXXXXX112233基本体系§7-9温度变化时超静定结构的计算结构力学11:52合肥工业大学Atttt1212BXXXXXX112233例:图示梁上边缘温度升高t1，下边缘温度升高t2，而且t2t1，梁的线膨胀系数α，截面高度为h,求梁的内力。AEIBltt12基本体系解:此梁为3次超静定梁000t3333232131t2323222121t1313212111ΔXXXΔXXXΔXXX力法典型方程：§7-9温度变化时超静定结构的计算结构力学11:52合肥工业大学作单位力弯矩图321MMM、、ABXM图2ll22=12AXM3图B3=1ABt1t2t2t1由图乘法：00113113211211δEIlEIlδ，，01212223123223322δδEIlEIlllδ，1AB图=1M111XEAlEAlδ1133htllhttAhtttAΔt)(0)(1212111MNltt03§7-9温度变化时超静定结构的计算结构力学11:52合肥工业大学将系数和自由项代入力法典型方程解得：htEIX1，X2=0，X3=EAαt0弯矩图由而得；11XMMAtEIαhBΔtEIαhΔM图结论：对于任一等截面直杆只要知道杆件位移（角位移、侧移）及作用在杆上的荷载、温度，便可求出杆件两端的弯矩、剪力，作出弯矩图、剪力图。§7-9温度变化时超静定结构的计算结构力学11:52合肥工业大学例：设图示刚架外侧温度不变，内侧温度升高10℃。各杆EI=常量，截面高度h=常量，截面形心在截面高度h的0.5处,线膨胀系数为α，试求由于温度变化在刚架中引起反力和内力。llABCABX1CX2基本体系CBA1t10co2t（a）0022221211212111ttΔXXΔXX自由项△1t与△2t为基本结构内侧温度升高10℃时在自由端C沿X1、X2方向产生的位移。解:1.刚架为二次超静定结构。2.根据变形条件建立力法方程§7-9温度变化时超静定结构的计算结构力学11:52合肥工业大学Cttt10010Δ12刚架内外侧温度差可知基本结构在温度变化时的变形趋势是：各杆轴线伸长，内侧受位。3.计算系数和自由项温度参量△t、t0的计算2120tttC52010说明温度变化使基本结构杆件形心轴伸长。(1)计算自由项§7-9温度变化时超静定结构的计算结构力学11:52合肥工业大学在基本结构C处沿X1、X2方向加单位力，作相应的内力图。lABX=21图0-1NN2MF=BCF=ABClABX=1ABF=BCF=M1CNlN0图1l]31[5]05)[(]2110)(10)[(][][221N0N10M1M11hllllhlhAtAtAhΔtAhΔtΔBCABBCABt同理)1(5][][2N0N20M2M22hllAtAtAhΔtAhΔtΔBCABBCABt§7-9温度变化时超静定结构的计算结构力学11:52合肥工业大学将△1t、△2t、δ11、δ22、δ12、δ21、的表达式代入式（a）得(2)系数的计算,只计弯曲影响。0)1(5320)31(52342332313hllXEIlEIlhllXEIlXEIl（b）lABX=21图0-1NN2MF=BCF=ABClABX=1ABF=BCF=M1CNlN0图1lEIlllEIl34)3(33311EIl3322EIl231221，，§7-9温度变化时超静定结构的计算结构力学11:52合肥工业大学lABl1ABF=BCF=M1CNlN0X=1FN1lCABX=2AF=BCF=NN-1012MFN2CABα×7l30EI图Mh3l(5+)l2lh(6－)l解得：)11(730)35(7302221hllEIXhllEIX2211MXMXM由叠加法作M图§7-9温度变化时超静定结构的计算结构力学11:52合肥工业大学支座位移、温度改变等因素（广义荷载）也会使超静定结构产生反力和内力，这是超静定结构不同于静定结构的一种力学性质。支座位移情形下的计算式中等号左边是基本体系的相应位移，右边是实际结构在该点的实际位移。nncnnnnncnncnncΔXXXcΔXXXcΔXXX2211221222121111212111在支座位移问题中,力法典型方程的一般形式可写成:§7-10支座位移时超静定结构的计算结构力学11:52合肥工业大学例:图示梁的A端产生了转角位移φA，求解梁的反力和内力并作弯矩图和剪力图。lBAEIφAABφX1AABφA1c基本体系基本结构变形条件为：基本体系在B点的位移与原结构相同。01Δ（a）解:(1)取支座B的竖向反力X1为多余未知力。(2)根据变形条件建立力法方程。§7-10支座位移时超静定结构的计算结构力学11:52合肥工业大学△1c是当支座A产生角位移φA时在基本结构中产生的沿X1方向引起的位移，由几何关系得出AkkclcRΔ1l1M1l图X1=1EIl3311系数δ11可由M1图求得AcllΔ1（△1C与X1反向，取负号）基本体系的位移△1是由X1和支座A的角位移φA共同作用产生的，因此式(a)可写成也可由静定结构由支座位移引起的位移公式求得01111cΔX（b）ABφA1c§7-10支座位移时超静定结构的计算结构力学11:52合肥工业大学最后内力计算方法与荷载情形无异。注意这里的X1与B端剪力的关系为ABAlEIXF213Slφ3EIABAM图l23EIABφA可见：支座位移在超静定结构中引起的内力的大小与杆件截面刚度和支座位移值有关。这是与荷载作用下的情况不同的。(4)作弯矩图和剪力图FS图(3)解方程求未知力将δ11与⊿1c代入式(b)，解得AlEIX213§7-10支座位移时超静定结构的计算结构力学11:52合肥工业大学例:图示单跨梁支座A产生转角φA，同时B支座产生沉降△。试用力法求梁的内力。lABφEIB'A在小变形情形下，B端的轴向约束作用可略去不计，即X3可略去，简化为二次超静定问题。(2)根据变形条件建立力法方程。解:(1)三次超静定。BAB'X1X2X31c基本体系022221211212111cAcΔXXΔXX（a）§7-10支座位移时超静定结构的计算结构力学11:52合肥工业大学(3)计算系数和自由项。lΔΔlΔc)1(1也可由几何关系得lΔΔc1（与X1的方向一致）lΔΔΔcc12同理BAB'X1X21c2c1BAX1=1图M1lFyB=1M21AB图1X2=FyB=1l作图、图算得1M2MEIl31122EIl61221，cRΔ由算得§7-10支座位移时超静定结构的计算结构力学11:52合肥工业大学(4)解方程求未知力036632121lΔXEIlXEIllΔXEIlXEIlA将系数和自由项代入方程式（a），有2262lEIlEIXA解得ΔlEIlEIXA2164可见，φA在杆AB近端（A端）与远端（B端）引起的弯矩分别为和，B端侧移△在两端产生的弯矩同为。ΔlEI26AlEI4AlEI2§7-10支座位移时超静定结构的计算结构力学11:52合肥工业大学226264lEIlEIMΔlEIlEIMABAAABΔlEIlEIlMMFFABAABABBA22126SS两端剪力为（由隔离体的力偶系平衡条件算）杆端弯矩分别：思考：当B支座顺时针转了φB时，结果如何？答：BBABABlEIMlEIM42这些结果将在第八章位移法中用到。§7-10支座位移时超静定结构的计算结构力学11:52