结构力学(第五版)第九章-渐近法

12第九章渐近法§9—1引言§9—2力矩分配法的基本原理§9—3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架§9—4几种近似法3§9—1引言计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成并解方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为了寻求较简捷的计算方法，自本世纪三十年代以来，又陆续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程，而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同，易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求得杆端弯矩。在结构设计中被广泛采用。返回4§9—2力矩分配法的基本原理力矩分配法为克罗斯(H.Cross)于1930年提出，这一方法对连续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便。1.劲度系数、传递系数⑴劲度系数(转动刚度)Sij定义如下：当杆件AB的A端转动单位角时，A端(又称近端)的弯矩MAB称为该杆端的劲度系数，用SAB表示。它标志着该杆端抵抗转动能力的大小，故又称为转动刚度。则劲度系数与杆件的远端支承情况有关，由转角位移方程知远端固定时：ABEIL1MAB=4iMBAABEI1MAB=3iSAB=MAB=4i远端铰支时：SAB=MAB=3iSAB=3iAB1远端滑动支撑时：EIMAB=iMBASAB=MAB=iSAB=i远端自由时：AB1MAB=oEISAB=MAB=0SAB=0SAB=4i返回5(2)传递系数CijABEIL1MAB=4iABEI1MAB=3iSAB=MAB=4iSAB=MAB=3iAB1EIMAB=iMBA=-iSAB=MAB=iAB1MABEISAB=MAB=0当近端A转动时，另一端B(远端)也产生一定的弯矩，这好比是近端的弯矩按一定比例传到远端一样，故将B端弯矩与A端弯矩之比称为由A端向B端的传递系数，用CAB表示。即或MBA=CABMAB远端固定时：CAB=0.5远端铰支时：CAB=0远端滑动支撑：CAB=－1由表右图或表(10—1)可得MBA=2i返回62.力矩分配法的基本原理现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理。1234qP(a)1234(b)MP图F21MF12MF14MF41M图(a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点转角Z1，其典型方程为r11Z1+R1P=0绘出MP图（图b),可求得自由项为R1P=R1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为刚臂反力矩，它等于结点1的杆端固端弯矩的代数和，即各固端弯矩所不平衡的差值，称为结点上的不平衡力矩。1F12MF13MF14M返回7r11=式中∑S1j代表汇交于结点1的各杆端劲度系数的总和。1234(c)1M图1Z12i124i123i13i14绘出结构的图（见图c)，计算系数为：解典型方程得Z1=然后可按叠加法M=计算各杆端的最后弯弯矩。4i12+3i13+i14=S12+S13+S14=∑S1j返回8M12=M13=M14=以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩。第二项为结点转动Z1角所产生的弯矩，这相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大小的比例分配给近端，因此称为分配弯矩，12、13、14等称为分配系数，其计算公式为1j=(9—1)结点1的各近端弯矩为：返回91j=(9—1)显然，同一结点各杆端的分配系数之和应等于1，即∑1j=1。各远端弯矩如下M21=M31=M41=各式右边的第一项仍是固端弯矩。第二项是由结点转动Z1角所产生的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例传到各远端一样，故称为传递弯矩。返回10得出上述规律后，便可不必绘MP、图，也不必列出典型方程，而直接按以上结论计算各杆端弯矩。其过程分为两步：(1)固定结点即加入刚臂。此时各杆端有固端弯矩，而结点上有不平衡力矩，它暂时由刚臂承担。(2)放松结点即取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加入一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的比例分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各自向其远端进行传递，各远端弯矩等于固端弯矩加上传递弯矩。返回11例9—1试用力矩分配法作刚架的弯矩图。ABCD30kN/m50kN(a)解：(1)计算各杆端分配系数AB=AC=AD=AB=0.445AC=0.333AD=0.222(2)计算固端弯矩据表(10—1）EI2EI4m2m2m12qL2=+12qL2=+83PL=8PL=(3)进行力矩的分配和传递结点A的不平衡力矩为ACD杆端ABACADBACADA0.4450.3330.222分配系数固端弯矩-40+400－75-250-35分配弯矩+15.5+11.7+7.8+7.80-7.8-32.2+55.5最后弯矩+11.7-67.2-32.80B55.56011.767.232.8M图(kN.m)(b)32.2(4)计算杆端最后弯矩并作矩图。+35返回12§9—3用力矩分配法计算连续梁对于具有多个结点转角但无结点线位移(简称无侧移)的结构，只需依次对各结点使用上节所述方法便可求解。作法是：先将所有结点固定，计算各杆固端弯矩；然后将各结点轮流地放松，即每次只放松一个结点，其它结点仍暂时固定，这样把各结点的不平衡力矩轮流地进行分配、传递，直到传递弯矩小到可略去时为止，以这样的逐次渐进方法来计算杆端弯矩。下面举例说明。返回13例9—2用力矩分配法计算图示连续梁。012325kN/m400kN25kN/m解：固定1`2结点。列表计算如下:12m6m6m12m分配系数10=12=21=23=固端弯矩MF-300+300-600+600-300-4500+150结点1分配传递+150+150+75+75结点2分配传递-129-96-640结点1分配传递+32+32+16+16结点2分配传递-9-7-500.50.50.5710.429结点1分配传递+2+3+1+1结点2分配传递-10最后弯矩M-208+484-484+553-5530EIEIEI+225-225返回14例9—3用力矩分配法计算图示连续梁。1.5kN/m8kN4kN5m8m3m5m5m1.5kN/m8kN4kN4kN·m0.3750.6250.50.50.3750.625MF0+4.69-8+8-9.38+5.62+2+4分配及传递-4.76-2.86-2.380ABCDEFI2I2II0.8iii0.8i1mABCDE+1.24+2.070+1.03+1.37+1.36+0.68+0.68-0.43-0.25-0.21-0.25-0.43-0.21-7.62+3.31+2.73+0.42+0.21+0.21+0.11+0.11-0.04-0.07-0.03-0.07-0.04-0.03+0.03+0.03+0.02+0.02-0.01-0.01-0.01-0.01M0+5.63-5.63+10.40-10.40+1.16-1.16+4返回151.5kN/m8kN4kNABCDEFI2I2IIM0+5.63-5.63+10.40-10.40+1.16-1.16+45.634.691.88121.1615048.06M图010.403.98返回16例9-5.用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。3m3m6mEIEI200kN20kN/m（1）B点加约束ABC200kN20kN/mMAB=MBA=MBC=mkN15086200mkN150mkN9086202MB=MBA+MBC=mkN60-150150-90（2）放松结点B，即加-60进行分配60ABC-60设i=EI/l计算转动刚度：SBA=4iSBC=3i分配系数：571.0344iiiBA429.073iiBC0.5710.429分配力矩:3.34)60(571.0BAM7.25)60(429.0BCM-34.3-25.7-17.20+(3)最后结果。合并前面两个过程ABC0.5710.429-150150-90-34.3-25.7-17.20-167.2115.7-115.70167.2115.730090M图(kN·m)ABC=17CB例9-6.用力矩分配法列表计算图示连续梁。ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN61ABi4182BCi61CDi141432614BCBASS6.04.032132BCBA216131414CDCBSS333.0667.02111CDCB0.40.60.6670.333m-6060-100100分配与传递-33.3-66.7-33.429.4442214.7-14.7-7.3-7.34.42.92.2-1.5-0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6-92.641.3-41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M图（kN·m）18ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M图（kN·m）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9Q图（kN）求支座反力68.256.4B124.619上题若列位移法方程式，用逐次渐近解法：020030240310CBCB(1)将上式改写成BCCB334.067.663.024(2)余数BCCB334.03.0(3)BC第一次近似值24-66.67-8202.4-6.672-0.80.24-0.670.2-0.08结果B=48.84C=-82.89精确值48.88-82.06MBC=4iBCB+2iBCC-100=6.92100)96.82(41284.48414201）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。3）结点不平衡力矩要变号分配。4）结点不平衡力矩的计算：结点不平衡力矩（第一轮第一结点）固端弯矩之和（第一轮第二、三……结点）固端弯矩之和加传递弯矩传递弯矩（其它轮次各结点）总等于附加刚臂上的约束力矩5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。力矩分配法小结：210.2221114321ABCDFEB3.04.03.0BEBCBAC222.0333.0445.0CFCDCBmBA=40kN·mmBC=-41.7kN·mmCB=41.7kN·m0.30.40.30.4450.33340-41.7-41.7-18.5-9.3-13.9-9.33.33.34.42.2-1.0-0.5-0.7-0.50.150.150.2-4.651.65-0.250.0743.453.45-46.924.4-9.8-14.61.72-4.9043.546.924.514.73.451.79.84.89M图)(mkN例9-74m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE22ABC1m5m1mEI=常数D50kN5/61/65025-20.8-4.2-20.8+20.8+50例9-8.带悬臂杆件的结构的力矩分配法。50kN·mABMM/2ABC1m5m1mEI=常数D50kN234EI4EI2EI2EI例9-9用力矩分配法计算，作M图。取EI=5i=4i=4i=2.5i=2.5↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓10kN/m20kN5m5m1m4m20kN20结点杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCmμ0.2630.3160.4210.6150.38500031.25－20.8320.8300(－20)－2.74－3.29