结构力学(第五版)第七章-力法

12§7—2超静定次数的确定§7—3力法的基本概念§7—4力法的典型方程§7—6对称性的利用§7—5力法的计算步骤和示例§7—7超静定结构的位移计算§7—9温度变化时超静定结构的计算§7—10支座移动时超静定结构的计算§7—11超静定结构的特性§7—8最后内力图的校核§7—1超静定结构概述第七章力法3§7—1概述1.静定结构与超静定结构静定结构：超静定结构：ABCPP全部反力和内力只用平衡条件便可确定的结构。仅用平衡条件不能确定全部反力和内力的结构。ABPHAVARBVAHARBRC外力超静定问题内力超静定问题返回4PABCP↙↗↙↗1X2.超静定结构在几何组成上的特征多余联系与多余未知力的选择。是几何不变且具有“多余”联系（外部或内部）。多余联系：这些联系仅就保持结构的几何不变性来说，是不必要的。多余未知力：多余联系中产生的力称为多余未知力（也称赘余力）。此超静定结构有一个多余联系，即有一个多余未知力。此超静定结构有二个多余联系，即有二个多余未知力。1X2X返回53.超静定结构的类型（1）超静定梁;（2）超静定桁架；（3）超静定拱；⑶⑷⑸4.超静定结构的解法求解超静定结构，必须综合考虑三个方面的条件:（1）平衡条件；（2）几何条件；（3）物理条件。具体求解时，有两种基本(经典)方法—力法和位移法。（4）超静定刚架；（5）超静定组合结构。返回6§7—2超静定次数的确定1.超静定次数：2.确定超静定次数的方法:解除多余联系的方式通常有以下几种：（1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。↓↑1X（2）拆开一个单铰，相当于去掉两个联系。用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系或多余未知力的数目。↓↑←→1X1X2X多余联系或多余未知力的个数。采用解除多余联系的方法.返回73.在刚结点处作一切口，或去掉一个固定端，相当于去掉三个联系。←→1X1X↓↑3X4.将刚结点改为单铰联结，相当于去掉一个联系。1X1X应用上述解除多余联系(约束)的方法，不难确定任何超静定结构的超静定次数。X2X2返回8在超静定结构上去除多余约束，常有以下几种基本方式：（1）撤去一根支杆或切断一根链杆，等于去除一个约束。9（2）撤去两杆间的一个单铰或撤去一个铰支座，等于去除两个约束。10（3）撤去一个固定端或切断一根梁式杆，等于去除三个约束。由此得出一般性结论：每一个封闭框格为超静定3次。11(4)在梁式杆的某一截面插入一个单铰，等于去除一个约束。将复铰结点A拆开，在刚结点B处插入一个单铰并切断一个链杆，复铰A相当于两个单铰的作用，共去除六个约束，即n=6。12对于框架，可采用下式计算超静定次数:hcn3式中c为框格数，h为单铰数先将结构中每个框格都看作是无铰的，每个单铰的存在就减少1次超静定。13n=3×4-6=6例1：(a)(b)框格数c=2单铰数h=2n=3×2-2=4框格数c=4单铰数h=614例2：X1X2n=2X1X4X2X3n=415X2X1X3n=3X1X2X3X4n=4+6-2=816思考：是否可将支座A处的水平链杆作为多余约束？X1??17例题:确定图示结构的超静定次数（n）。←←→→↓↓↑↑1X2X3X←→4X5X6Xn=6←→↓↑1X2X←→3X←4X5X6Xn=3×7=21对于具有较多框格的结构，可按框格的数目确定，因为一个封闭框格，其超静定次数等于三。当结构的框格数目为f,则n=3f。返回18§7—3力法的基本概念首先以一个简单的例子，说明力法的思路和基本概念。讨论如何在计算静定结构的基础上，进一步寻求计算超静定结构的方法。ABEIL1.判断超静定次数：n=1qq↑1XAB原结构2.确定(选择)基本结构。3.写出变形(位移)条件:↑1X11P1(a)(b)q基本结构根据叠加原理，式（a）可写成返回19图1M图PM1X1图M8qL2↑2qL2L8qL2将代入(b)得4.建立力法基本方程(7—1)5.计算系数和常数项6.将11、∆11代入力法方程式(7-1)，可求得ABEILq(b)此方程便为一次超静定结构的力法方程。=EI12L232L∆11=11x1=EI12qL243L_(31L)多余未知力x1求出后，其余反力、内力的计算都是静定问题。利用已绘出的M1图和MP图按叠加法绘M图。q返回20结论象上述这样解除超静定结构的多余联系而得到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未知量，根据基本结构应与原结构变形相同而建立的位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平衡条件计算其余反力、内力的方法，称为力法。力法整个计算过程自始至终都是在基本结构上进行的，这就把超静定结构的计算问题，转化为已经熟悉的静定结构的内力和位移的计算问题。返回21§7—4力法的典型方程1.三次超静定问题的力法方程用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导。AB↓P首先选取基本结构（见图b）→X1X2AB↓P↑X3基本结构的位移条件为：△1=0△2=0△3=0设当和荷载P分别作用在结构上时，A点的位移沿X1方向：沿X2方向：沿X3方向：据叠加原理，上述位移条件可写成原结构基本结构△1=（7—2）（a）（b）1121、22、23和△2P；31、32、33和△3P。△2=21X1+22X2+23X3+△2P=0△3=31X1+32X2+33X3+△3P=011X1+12X2+13X3+△1P=0、12、13和△1P；返回222.n次超静定问题的力法典型(正则)方程对于n次超静定结构,有n个多余未知力，相应也有n个位移条件，可写出n个方程11X1+12X2+…+1iXi+…+1nXn+△1P=0（7—3）这便是n次超静定结构的力法典型(正则)方程。式中Xi为多余未知力，ii为主系数，ij(i≠j)为副系数,△iP为常数项（又称自由项）。11X1+12X2+13X3+△1P=0（7—2）21X1+22X2+23X3+△2P=031X1+32X2+33X3+△3P=0…………………………………………………………………………………………………………………………i1X1+i2X2+…+iiXi+…+inXn+△iP=0n1X1+n2X2+…+niXi+…+nnXn+△nP=0返回233.力法方程及系数的物理意义（1）力法方程的物理意义为：（2）系数及其物理意义：下标相同的系数ii称为主系数(主位移)，它是单位多余未知力单独作用时所引起的沿其自身方向上的位移，其值恒为正。系数ij(i≠j)称为副系数(副位移)，它是单位多余未知力单独作用时所引起的沿Xi方向上的位移，其值可能为正、为负或为零。据位移互等定理，有ij=ji△iP称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起的沿Xi方向的位移。其值可能为正、为负或为零。上述方程的组成具有规律性，故称为力法典型方程。基本结构在全部多余未知力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向上的位移，应与原结构相应的位移相等。返回244.力法典型(正则)方程系数和自由项的计算典型方程中的各项系数和自由项，均是基本结构在已知力作用下的位移，可以用第七章的方法计算。对于平面结构，这些位移的计算公式为对不同结构选取不同项计算。系数和自由项求得后，代入典型方程即可解出各多余未知力。返回25§7—5力法的计算步骤和示例1.示例PABCI1I2=2I1a2a2an=2(二次超静定)原选择基本结构如图示PACB基X1X2力法典型方程为：11X1计算系数和常数项，为此作图1M1X1a图2M1X2aa计算结果如下(a)a21X1+22X2+△2P=0+12X2+△1P=02EI112a232a=6EI1a32EI112a2a=4EI1a3返回26图1Ma图2MaaP图PM2Pa将以上各系数代入方程(a)并消去(a3/EI1)得解联立方程得多余未知力求得后其余反力、内力的计算便是静定问题。例如最后内力图的绘制用叠加法15/88×PaM图13/88×PaPABC3/88×PaaMAC=a.114P+a(883P)2Pa返回272、力法的计算步骤（1）确定原结构的超静定次数。（2）选择静定的基本结构(去掉多余联系，以多余未知力代替)。（3）写出力法典型方程。（4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力图，据此计算典型方程中的系数和自由项。（5）解算典型方程，求出各多余未知力。（6）按叠加法作内力图。返回28例7—1用力法分析两端固定的梁，绘弯矩图。EI=常数。ABLabP解：n=3选取简支梁为基本结构PX1X2X3基本结构典型方程为11X1+12X2+13X3+△1P=021X1+22X2+23X3+△2P=031X1+32X2+33X3+△3P=011X2图2M1X111X3图1M图3MMP图P3=0,故13=31=23=32=△3P=0则典型方程第三式为33X3=033≠0(因X3的解唯一)故作基本结构各和MP图由于X3=0LPabL3bL22LbPaM图22LPab11X1+12X2+△1P=021X1+22X2+△2P=0由图乘法求得代入典型方程(消去公因子)得解得代入典型方程解得作弯矩图。按式返回29例7—2用力法计算图示桁架内力，设各杆EA相同。解：n=1(一次超静定)。01234PP2a2aa选择基本结构如图示。01234PPX1基本结构写出力法典型方程11X1+△1P=0按下列公式计算系数和自由项为此，求出基本结构的和NP值01234X1=11N2222-1/2对称01234PPNPP22+P/2对称0列表计算(见书137页)后得EA11=(3+)aEA△1P=－Pa返回3001234X1=11N2222-1/2对称01234PPNPP22+P/2对称001234PPN对称代入典型方程，解得各杆内力按式叠加求得。+0.414P+0.172P例如N03=0.707×0.172P-0.707Ｐ=－0.586P=0.172P返回31例7—3.力法解图示结构，作M图l/2EIEIPl/2lX1PX1=12/lM1323/PlMP4/Pl3201解:01111PXEIl3211/EIPlPllEIP16214211213231/PlXPMXMM11PX14/PlMPP1M1X1=1另一解法33000321PX1=1M1X2=1M2M3X3=1PMPPX1X2X3000333323213123232221211313212111PPPXXXXXXXXX例7—4.力法解图示结构3403113X1PX2X3X1=1X2=1X3=1PM1M2M3MP032PP另一解法0003332323232221211212111XXXXXXXP35例7—5.力法解图示结构EA=常数.解:Paa1XP0101111PXEAaEAlNN)(2141111EAPaEAlNNPP)(2121121/PXPNXNN11PP2P00P00NP11XN111111221XP-P/2-P/2P/2P/222/22/1X1XEAaX11变形条件仍为:对吗?0136qlllX1X2X2X1(1)worst2M1MPM(2)better例7—6.选择恰当的基本结构，作弯矩图（基本结构的选择直接影响解题过程的繁简）EA=常数37(3)bestX1X238解：01111PXEIl3411EIqlP2431EIqlXP3221111PMXMM11llEIEIq281qlMP6472ql322qlM例7—7.选择恰当的基本结构，作弯矩图X