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第二十四章圆第页124.1.1圆教学目标探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别．教学重点圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题．教学难点圆的运动式定义方法课堂教学程序设计讨论完善一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1：如图1，观察下列图形，从中找出共同特点．图1学生活动设计：学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形．教师活动设计：让学生观察图形，感受圆和实际生活的密切联系，同时激发学生的学习渴望以及探究热情．二、问题引申，探究圆的定义，培养学生的探究精神活动2：如图2，观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？（课件：画圆）图2学生活动设计：学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现在一个平面内一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点形成的图形就是圆．第二十四章圆第页2教师活动设计：在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作一界定：圆：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆；圆心：固定的端点叫作圆心；半径：线段OA的长度叫作这个圆的半径．圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．同时从圆的定义中归纳：（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．于是得到圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆．活动3：讨论圆中相关元素的定义．如图3，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？图3学生活动设计：学生小组讨论，讨论结束后派一名代表发言进行交流，在交流中逐步完善自己的结果．教师活动设计：在学生交流的基础上得出上述概念的严格定义，对于学生的不准确的叙述，可以让学生讨论解决．弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦；直径：经过圆心的弦叫作直径；弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”；半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如图3中的ABC；劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如图3中的BC．活动4：讨论，车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？（课件：车轮；课件：方形车轮）学生活动设计：学生首先根据对圆的概念的理解独立思考，然后进行分组讨论，最后进行交流．教师活动设计：讨论完善第二十四章圆第页3引导学生进行如下分析：如图4，把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比如正方形，正方形的中心（对角线的交点）距离地面的距离随着正方形的滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是保持不变，因此不稳定．图4讨论完善作业设计教科书P81：1—3教学反思24．1．2垂直于弦的直径教学目标探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．教学重点垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．教学难点利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．课堂教学程序设计讨论完善一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（课件：探究圆的性质）学生活动设计：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．教师活动设计：在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．二、问题引申，探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神活动2：按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第二十四章圆第页4第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1．图1图2在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？(课件：探究垂径定理)学生活动设计：如图2所示，连接OA、OB，得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是直角三角形，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合．因此AM=BM，AC=BC，同理得到ADBD．教师活动设计：在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．活动3：如图3，AB所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4m，弦AB=16m，求此圆的半径．图3学生活动设计：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC⊥AB，则有AD=BD，且△ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．教师活动设计：在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来．〔解答〕设圆的半径为R，由条件得到OD=R－4，AD=8，讨论完善第二十四章圆第页5在Rt△ADO中222AOODAD，即222(4)8RR．解得R＝10（m）．答：此圆的半径是10m．活动4：如图4，已知AB，请你利用尺规作图的方法作出AB的中点，说出你的作法．BA图4师生活动设计：根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点．〔解答〕1．连接AB；2．作AB的中垂线，交AB于点C，点C就是所求的点．小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性．讨论完善作业设计教科书P83：1—2教学反思24．1．3弧、弦、圆心角教学目标通过探索理解并掌握:（1）圆的旋转不变性；（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理；教学重点探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．教学难点圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．第二十四章圆第页6课堂教学程序设计讨论完善一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动11.按下面的步骤做一做：(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．图1(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．(课件：探究三量关系)师生活动设计：教师叙述步骤，同学们一起动手操作．由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋转法可知''ABAB．在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径第二十四章圆第页7OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以AB和''AB重合，弦AB与弦A′B′重合，即''ABAB，AB=A′B′．进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2．根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．师生活动设计：本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述命题是真命题．二、主体活动，巩固新知，进一步理解三量关系定理．活动2：如图2，在⊙O中，ABAC，∠ACB＝60°，求证∠AOB=∠AOC=∠BOC．学生活动设计：图2学生独立思考，根据对三量定理的理解加以分析．由ABAC，得到ABAC，△ABC是等腰三角形，由∠ACB＝60°，得到△ABC是等边三角形，AB=AC=BC，所以得到∠AOB=∠AOC=∠BOC．教师活动设计：这个问题是对三量关系定理的简单应用，因此应当让学生独立解决，在必要时教师可以进行适当的启发和提醒，最后学生交流自己的做法．〔证明〕∵ABAC讨论完善OABC第二十四章圆第页8∴AB=AC，△ABC是等腰三角形．又∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA．∴∠AOB=∠AOC=∠BOC．小结：弦、圆心角、弧三量关系．讨论完善作业设计P85：练习教学反思24.1.4圆周角教学目标1．了解圆周角与圆心角的关系．2．探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征．3．能运用圆周角的性质解决问题．教学重点探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征．教学难点发现并论证圆周角定理．课堂教学程序设计讨论完善[活动1]演示课件或图片：教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆．教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内的海洋动物．教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题．教师结合示意图，给出圆周角的定义．利用几何画板演示，让学生辨析圆周角，并引第二十四章圆第页9问题1如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（AOB和ACB）有什么关系？问题2如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（ADB和AEB）和同学乙的视角相同吗？导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧（AB）所对的圆心角（AOB）与圆周角（ACB）、同弧所对的圆周角（ACB、ADB、AEB等）之间的大小关系．教师引导学生进行探究．讨论完善［活动2］问题1同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？问题2同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与圆周角∠ADB的大小关系是怎样的？OBACBOACDE教师提出问题，引导学生利用度量工具（量角器或几何画板）动手实验，进行度量，发现结论．教师利用几何画板课件“圆周角定理”，从动态的角度进行演示，验证学生的发现．1．拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；2．改变圆心角的度数；3．改变圆的半径大小．讨论完善第二十四章圆第页10［活动3］问题1在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？(课件：折痕与圆周角的关系)问题2当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？问题3另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？教师引导学生，采取小组合作的学习方式，前后四人一组，分组讨论．教师巡视，请学生回答问题．回答不全面时，请其他同学给予补充．教师演示圆心与圆周角的三种位置关系．教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论．学生写出已知、求证，完成证明．学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师观察指导小组活动．启发并引导学生，通过添加辅助线，将问题进行转化．讨论完善［活动4］问题1半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？（课件：圆周角定理推论）问题290°的圆周角所对的弦是什么?学生独立思考，回答问题，教师讲评．问题1提出后，教师关注：学生是否能由半圆（或直径）所对的圆心角的度数得出圆周角的度数．问题2提出后，教师关注：学生是否能由90°的圆周角推出同弧所对的圆心角度数是180°，从而得出所