教案信号与系统

信号与系统授课教案一、授课内容：1.学科名称：信号与线性系统分析（第四版）2.授课题目：2.1LTI连续系统的响应：微分方程经典解法和初始值0+的求法。3.教学形式：讲授+课堂练习4.授课教师：XXX5.学时：1二、教学目的：1.掌握连续时间系统微分方程的建立与微分方程经典解法。2.掌握系统起始点的跳变，0+和0-的求解。三、教学重点：微分方程的求解，起始点状态的转换。四、难点分析及对策：难点1：微分方程的建立难点在于有电路定理推导并建立微分方程，这一部分内容属于电路理论的基础知识，但是由于电路理论中对相对复杂电路的分析与计算过程比较繁琐，计算量较大，有的电路甚至会涉及到多变量方程组求解，多种电路定理的应用，因此学生大多觉得学习过程比较困难。解决方法：主要进行举例分析。难点2：连续时间系统中起始点的跳变，即从0-到0+的转换过程的求解是一个难点。解决办法：以例题进行详细讲解并布置相关习题多加练习。五、教学过程：（一）导课：对第一张内容简单回顾一下，以介绍本节课的教学目的和要求，以及主要知识点和重点的导课方式，进入这节课的教学内容。（二）教学内容：LTI连续系统的时域分析过程可以理解为建立并求解线性微分方程，因其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。本章知识的前期预备知识为高等数学的线性微分方程的求解，后续内容是连续时间系统的频域分析——傅里叶变换，连续时间系统的S域分析——拉氏变换。因此，本章是知识的学习非常重要。主要知识点如下：（1）经典法求解微分方程主要包括：a.微分方程的建立b.微分方程的经典法求解（2）关于0-与0+主要包括：从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)LTI连续系统的响应1.微分方程的经典解法LTI连续系统可以由常系数线性微分方程来描述。例如：uS(t)uC(t)LRC)()(d)(dd)(d22tututtuRCttuLCSCCC22d()d()11()()ddCCCSututRututtLtLCLC二阶常系数线性微分方程抽去具有的物理含义，可写成100''()'()()()ytaytaytbft一般LTI连续系统常系数线性微分方程通式可写为：y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t)方程解的形式：y(t)(全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解）（1）齐次解齐次解是齐次微分方程y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。齐次解yh(t)的函数形式由微分方程的特征方程决定的特征根确定。在LTI系统中，我们常见的是二阶常系数线性微分方程，下面我们来谈论二阶的情况：二阶常系数线性微分方程的齐次解形式：y(2)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=b0f(t)特征方程：λ2+a1λ+a0=0解得特征根：λ1，λ2λ有三种不同形式：yh(t)函数形式，由λ的值以及λ的不同形式决定（2）特解特解的函数形式与激励函数的形式有关。（P41表2-1）（3）全解y(t)=yh(t）+yp(t)含有待定系数（4）最后一步代入初始条件，求出待定系数得全解完整形式。例1.某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1时的全解。齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应。特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。2.关于0-与0+若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci时用t=0+时刻的初始值，即y(j)(0+)(j=0,1,2…，n-1)。在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史信息而与激励无关。称这些值为初始状态。初始状态一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。初始值：y(j)(0+)(j=0,1,2…，n-1)能作为初始条件，代入全解，确定系数。初始状态：y(j)(0-)(j=0,1,2…，n-1)容易求得，但不能作为初始条件。为完整求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。本节核心内容：由y(j)(0-)求得y(j)(0+)步骤：（1）将输入f(t)带入微分方程。如果等号右端含有δ(t)及其各阶导数，根据微分方程等号两端各奇异函数的系数相等的原理，判断方程左端y(t)的最高阶导数所含δ(t)导数的最高阶次。（2）令y”(t)=aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+r0(t)，对y”(t)进行积分（从-∞到t），逐次求得y’(t)和y(t)。（3）将y”(t)、y’(t)和y(t)代入微分方程，根据方程等号两端各奇异函数的系数相等，从而求得y”(t)中的各待定系数。（4）分别对y”(t)、y’(t)等号两端从0-到0+进行积分，依次求得各0+值y(0+)和y’(0+)。例2：描述某系统的微分方程为：y”(t)+2y’(t)+y(t)=f”(t)+2f’(t)已知y(0-)=1，y’(0-)=-1，f(t)=δ(t)，求y(0+)和y’(0+)。解：y(0+)-y(0-)=b=-2y(0+)=y(0-)-2=-1y’(0+)-y’(0-)=c=5y’(0+)=y(0-)+5=4六、作业：