第十二章-全等三角形-小结与复习

小结与复习第十二章全等三角形能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的角叫做对应角.重合的边叫做对应边，要点梳理一、全等三角形的性质BCEF其中点A和，点B和，点C和__是对应顶点.AB和，BC和，AC和是对应边.∠A和，∠B和，∠C和是对应角.AD点D点E点FDEEFDF∠D∠E∠FABCDEF性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.如图：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，BC=EF，AC=DF（），∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（）.全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等应用格式：1.三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.ABCDEF在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF.（SSS）AB=DE，BC=EF，CA=FD，用符号语言表达为：二、三角形全等的判定方法用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF.（SAS）2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).FEDCBAAC=DF，∠C=∠F，BC=EF，∠A=∠D，（已知）AB=DE，（已知）∠B=∠E，（已知）在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF.（ASA）3.有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）.用符号语言表达为：FEDCBA4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）.5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.ABCDEF注意：①对应相等.②“HL”仅适用直角三角形,③书写格式应为:∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB=DE，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)角的平分线的性质图形已知条件结论PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定三、角平分线的性质与判定考点一全等三角形的性质考点讲练例1如图，已知△ACE≌△DBF．CE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2．（1）求AC的长度；（2）试说明CE∥BF．解：（1）∵△ACE≌△DBF，∴AC=BD，则AB=DC，∵BC=2，∴2AB+2=8，∴AB=3，∴AC=3+2=5；（2）∵△ACE≌△DBF，∴∠ECA=∠FBD，∴CE∥BF．两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一定是对应角.方法总结1.如图所示，△ABD≌△ACD，∠BAC=90°．（1）求∠B；（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由．针对训练解：（1）∵△ABD≌△ACD，∴∠B=∠C，又∵∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°；（2）AD⊥BC．理由：∵△ABD≌△ACD，∴∠BDA=∠CDA，∵∠BDA+∠CDA=180°，∴∠BDA=∠CDA=90°，∴AD⊥BC．例2已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．∠ABC＝∠DCB(已知），BC＝CB（公共边），∠ACB＝∠DBC（已知），证明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA）.BCAD【分析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定．考点二全等三角形的判定2.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的是()A.AB=DE,AC=DF,BC=EFB.∠A=∠D,∠B=∠E,AC=DFC.AB=DE,AC=DF,∠A=∠DD.AB=DE,BC=EF,∠C=∠FD针对训练3.如图所示，AB与CD相交于点O,∠A=∠B，OA=OB添加条件，所以△AOC≌△BOD理由是.AODCB∠C=∠D或∠AOC=∠BODAAS或ASA考点三全等三角形的性质与判定的综合应用例3如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,求证：∠DEC=∠FEC.ABCDFEG【分析】欲证∠DEC=∠FEC由平行线的性质转化为证明∠DEC=∠DCE只需要证明△DEG≌△DCG.ABCDFEG证明：∵CE⊥AD,∴∠AGE=∠AGC=90°.在△AGE和△AGC中，∠AGE=∠AGC，AG=AG，∠EAG=∠CAG，∴△AGE≌△AGC(ASA)，∴GE=GC.∵AD平分∠BAC,∴∠EAG=∠CAG，.ABCDFEG在△DGE和△DGC中，EG=CG，∠EGD=∠CGD=90°，DG=DG.∴△DGE≌△DGC(SAS).∴∠DEG=∠DCG.∵EF//BC,∴∠FEC=∠ECD，∴∠DEG=∠FEC.利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.方法总结4.如图，OB⊥AB,OC⊥AC,垂足为B,C,OB=OC，∠BAO=∠CAO吗？为什么？OCBA解：∠BAO=∠CAO，理由：∵OB⊥AB,OC⊥AC，∴∠B=∠C=90°.在Rt△ABO和Rt△ACO中，OB=OC，AO=AO，∴Rt△ABO≌Rt△ACO，（HL）∴∠BAO=∠CAO.针对训练考点四利用全等三角形解决实际问题例4如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？ABCD【分析】将本题中的实际问题转化为数学问题就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC，AD⊥BC.ABCD解：相等，理由如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADB和Rt△ADC中，AD=AD，AB=AC，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL).∴BD=CD.利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：（1）先明确实际问题；（2）根据实际抽象出几何图形；（3）经过分析，找出证明途径；（4）书写证明过程.方法总结针对训练5.如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？解：要测量A、B间的距离，可用如下方法：过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，∵∠ACB=∠ECD，CB=CD，∠ABC=∠EDC，∴△EDC≌△ABC（ASA）．∴DE=BA．答：测出DE的长就是A、B之间的距离．CDE考点五角平分线的性质与判定例5如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点，∠PCB+∠BAP=180°，求证:PA=PC.BACN12P【分析】由角平分线的性质易想到过点P向∠ABC的两边作垂线段PE、PF，构造角平分线的基本图形.EF【证明】过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.BACN12PEF∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∴PE=PF,∠PEA=∠PFC=90°.∵∠PCB+∠BAP=180°,又∠BAP+∠EAP=180°.∴∠EAP=∠PCB.在△APE和△CPF中，∠PEA=∠PFC=90°，∠EAP=∠FCP，PE=PF，∴△APE≌△CPF(AAS)，∴AP=CP.【证法2思路分析】由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形.方法是在BC上截取BD=AB,连接PD（如图）.则有△PAB≌△PDB,再证△PDC是等腰三角形即可获证.ACN12PB证明过程请同学们自行完成！D【归纳拓展】角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法.应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形.6.如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点，PA=PC，求证:∠PCB+∠BAP=180°.BACN12PEF【证明】过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∴PE=PF,∠PEA=∠PFC=90°.PA=PC，PE=PF，在Rt△APE和Rt△CPF中，∴Rt△PAE≌Rt△PCF(HL).针对训练∴∠EAP=∠FCP.∵∠BAP+∠EAP=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°.想一想：本题如果不给图，条件不变，请问∠PCB与∠PAB有怎样的数量关系呢？BACN12PEF全等三角形性质基本性质和其他重要性质判定判定方法基本思路作用是证明两条线段相等和角相等的常用方法寻找现有条件（包括图中隐含条件）选定判定方法证明准备条件角的平分线的性质定理角的平分线的判定定理证明两条线段相等证明角相等辅助线添加方法课堂小结