第二章第12讲导数与函数的极值、最值

第12讲导数与函数的极值、最值,[学生用书P52])1．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．1．辨明两个易误点(1)求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；(2)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．2．明确两个条件一是f′(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．二是对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．1.教材习题改编函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点C[解析]设f′(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1、x2、x3、x4.当xx1时，f′(x)0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f′(x)0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.2.教材习题改编f(x)＝x3－27x()A．有极大值－54B．有极大值54，极小值－54C．有极小值54D．有极小值－54，无极大值B[解析]f′(x)＝3x2－27，f′(x)＝0时，x＝±3.f′(x)0时，x－3或x3.f′(x)0时，－3x3，所以f(x)在(－∞，－3)，(3，＋∞)上是增函数，在(－3，3)上是减函数．所以f(x)极大值＝f(－3)＝54.f(x)极小值＝f(3)＝－54.故选B.3.教材习题改编函数f(x)＝13x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m的值为()A．7B．283C．3D．4D[解析]f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，f′(x)＝0时，x＝2，f′(x)0时，0≤x2，f′(x)0时，2x≤3.所以f(x)在[0，2)上是减函数，在(2，3]上是增函数．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4，故选D.4．已知x＝3是函数f(x)＝alnx＋x2－10x的一个极值点，则实数a＝________．[解析]f′(x)＝ax＋2x－10，由f′(3)＝a3＋6－10＝0，得a＝12，经检验满足条件．[答案]125．函数f(x)＝ex＋lnx在(0，1]上的最大值为________．[解析]f′(x)＝ex＋1x0，x∈(0，1]．所以f(x)在(0，1]上是增函数．所以f(x)max＝f(1)＝e.[答案]e函数的极值问题(高频考点)[学生用书P53]函数的极值是每年高考的热点，一般为中高档题，三种题型都有．高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度：(1)由图判断函数极值的情况；(2)已知函数解析式求极值；(3)已知函数极值求参数值或范围．[典例引领](1)设函数f(x)在定义域R上可导，其导函数为f′(x)，若函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)(2)(2016·高考山东卷)设f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R.①令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；②已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．【解】(1)选D.由题图可知，当x－2时，f′(x)0；当x＝－2时，f′(x)＝0；当－2x1时，f′(x)0；当1x2时，f′(x)0；当x＝2时，f′(x)＝0；当x2时，f′(x)0.由此可得函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D.(2)①由f′(x)＝lnx－2ax＋2a，可得g(x)＝lnx－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)．则g′(x)＝1x－2a＝1－2axx.当a≤0时，x∈(0，＋∞)时，g′(x)0，函数g(x)单调递增；当a0时，x∈0，12a时，g′(x)0，函数g(x)单调递增，x∈12a，＋∞时，函数g(x)单调递减．所以当a≤0时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)；当a0时，g(x)的单调增区间为0，12a，单调减区间为12a，＋∞.②由①知，f′(1)＝0.〈1〉当a≤0时，f′(x)单调递增，所以当x∈(0，1)时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递增．所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．〈2〉当0a12时，12a1，由①知f′(x)在0，12a内单调递增，可得当x∈(0，1)时，f′(x)0，x∈1，12a时，f′(x)0.所以f(x)在(0，1)内单调递减，在1，12a内单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．〈3〉当a＝12时，12a＝1，f′(x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意．〈4〉当a12时，012a1，当x∈12a，1时，f′(x)0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意．综上可知，实数a的取值范围为a12.[题点通关]角度一由图判断函数极值的情况1．函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示，则x21＋x22等于()A．89B．109C．169D．289C[解析]函数f(x)的图象过原点，所以d＝0.又f(－1)＝0且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0，解得b＝－1，c＝－2，所以函数f(x)＝x3－x2－2x，所以f′(x)＝3x2－2x－2，由题意知x1，x2是函数的极值点，所以x1，x2是f′(x)＝0的两个根，所以x1＋x2＝23，x1x2＝－23，所以x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝49＋43＝169.角度二已知函数解析式求极值2．f(x)＝(2x－x2)ex的极大值为________．[解析]f′(x)＝(2－2x)ex＋(2x－x2)ex＝(2－x2)ex，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.由f′(x)0，得x－2或x2.由f′(x)0，得－2x2.所以f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是减函数，在(－2，2)上是增函数．所以f(x)极大值＝f(2)＝(22－2)e2.故填(22－2)e2.[答案](22－2)e2角度三已知函数极值求参数值或范围3．设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a≥0)．(1)当a＝1，且函数图象过点(0，1)时，求函数的极小值；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围．[解]f′(x)＝3ax2－4x＋1.(1)函数图象过点(0，1)时，有f(0)＝c＝1.当a＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)0，解得x13，或x1；令f′(x)0，解得13x1.所以函数f(x)在－∞，13和(1，＋∞)上单调递增；在13，1上单调递减，极小值是f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；当a0时，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥43.综上，a的取值范围为43，＋∞.函数的最值问题[学生用书P53][典例引领](2017·昆明模拟)已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．【解】(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)—0＋f(x)↘－ek－1↗所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；当0k－11，即1k2时，f(x)在[0，k－1]上单调递减，在[k－1，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上，当k≤1时，f(x)在[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；当1k2时，f(x)在[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k≥2时，f(x)在[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.设函数f(x)＝alnx－bx2(x0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－12相切．(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在1e，e上的最大值．[解](1)f′(x)＝ax－2bx，因为函数f(x)在x＝1处与直线y＝－12相切，所以f′（1）＝a－2b＝0，f（1）＝－b＝－12，解得a＝1，b＝12.(2)由(1)知，f(x)＝lnx－12x2，f′(x)＝1x－x＝1－x2x，因为当1e≤x≤e时，令f′(x)0，得1e≤x1；令f′(x)0，得1x≤e，所以f(x)在1e，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－12.函数极值与最值的综合问题[学生用书P54][典例引领]已知函数f(x)＝ax2＋bx＋cex(a0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．【解】(1)f′(x)＝（2ax＋b）ex－（ax2＋bx＋c）ex（ex）2＝－ax2＋（2a－b）x＋b－cex.令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因为ex0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同．又因为a0.所以当－3x0时，g(x)0，即f′(x)0，当x－3或x0时，g(x)0，即f′(x)0，所以f(x)的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有9a－3b＋ce－3＝－e3，g（0）＝b－c＝0，g（－3）＝－9a－3（2a－b）＋b－c＝0，解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝x2＋5x＋5ex.因为f(x)的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋