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1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．2．掌握两点间距离公式．3．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．4．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．平面直角坐标系中的基本公式(1)两点的距离公式已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则d(A，B)＝.(2)中点公式已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝，y＝.2．直线的倾斜角3.直线的斜率[思考探究]过两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)且x1＝x2时直线的倾斜角和斜率怎样？提示：当x1＝x2时，直线P1P2与x轴垂直，倾斜角α＝90°，其斜率不存在.4．直线方程的几种形式[思考探究2]直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式各有什么适用范围？提示：点斜式和斜截式适用于不垂直于x轴的直线；两点式和截距式适用于不垂直x、y轴的直线，且截距式还不适用于过原点的直线．1．已知m≠0，则过点(1，－1)的直线ax＋3my＋2a＝0的斜率为()A.B．－C．3D．－3解析：由于点(1，－1)在直线上，所以a－3m＋2a＝0，∴m＝a，∴直线斜率为－.答案：B2．直线l过点P(－2,3)，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为()A．3x－2y＋12＝0B．3x＋2y＋12＝0C．3x－4y＋20＝0D．3x＋y－3＝0解析：设A(x,0)，B(0，y)．∵P恰为AB的中点，则＝－2，＝3，∴x＝－4，y＝6.即A、B两点的坐标分别为(－4,0)，(0,6)．由截距式得l的方程为＝1，即3x－2y＋12＝0.答案：A3．如果A·C0，且B·C0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵A·C0，B·C0，∴A·B0，即A、B同号．斜率k＝－0，且－0，∴直线不通过第三象限．答案：C4．直线－x＋y－6＝0的倾斜角是________，在y轴上的截距是________．解析：直线方程可化为y＝x＋2，∴其斜率k＝，在y轴上的截距为2，由k＝可得其倾斜角α＝30°.答案：30°25．曲线y＝x3＋x＋1在点(1,3)处的切线方程是________．解析：∵点(1,3)在曲线上，y′|x＝1＝4，∴切线方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.答案：4x－y－1＝0倾斜角和斜率的关系1.斜率k是一个实数，每条直线存在惟一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率，当倾斜角α≠90°时，k＝tanα.2.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tanα的单调性，当α由0增大到(α≠)时，k由0增大到＋∞；当α由(α≠)增大到π(α≠π)时，k由负无穷大趋近于0.解决此类问题时，也可采用数形结合思想，借助图形直观作出判断.3．求斜率的一般方法(1)已知直线上两点，根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．(2)已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据k＝tanα来求斜率．4．利用斜率证明三点共线的方法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1＝x2＝x3或kAB＝kAC，则有A、B、C三点共线．[特别警示]斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率问题要谨记，存在与否要讨论．直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是()A.[)∪(]B.[0，]∪[，π)C.[0，]D.[][思路点拨][课堂笔记]由xcosα＋y＋2＝0得直线斜率k＝－cosα.∵－1≤cosα≤1，∴－≤k≤.设直线的倾斜角为θ，则－≤tanθ≤.结合正切函数在[0，)∪(，π)上的图象可知，0≤θ≤或≤θπ.[答案]B设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A(a，a3)、B(b，b3)、C(c，c3)在同一直线上，求证：a＋b＋c＝0.证明：∵a，b，c互不相等，∴过A、B、C任两点的直线的斜率均存在．又kAB＝＝a2＋ab＋b2，kAC＝＝a2＋ac＋c2.∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kAC，即a2＋ab＋b2＝a2＋ac＋c2，(b－c)(a＋b＋c)＝0.而b≠c，∴a＋b＋c＝0.求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程．求直线方程的一般方法有：1．直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线的方程．2．待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．[特别警示]求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论．求过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距分别为a、b，且满足a＝3b的直线方程．[思路点拨][课堂笔记](1)若a＝3b＝0，则直线过原点(0,0)，此时直线斜率k＝－，直线方程为x＋2y＝0.(2)若a＝3b≠0，设直线方程为＝1，即＝1.由于点P(2，－1)在直线上，所以b＝－.从而直线方程为－x－3y＝1，即x＋3y＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0.13求过点P(2，－1)且在两坐标轴截距绝对值相等的直线方程．解：(1)若截距相等且为0，则所求直线方程为x＋2y＝0.(2)若截距不为0，设直线在x、y轴上的截距分别为a、b，所求直线方程为＝1，根据题意知所以所求直线方程为x＋y＝1或x－y＝3.综上所述，所求直线方程为x＋2y＝0或x＋y＝1或x－y＝3.每种形式的直线方程均有其适用范围，当直线方程中含有参数时，不仅要考虑斜率存在的情况，也要考虑斜率不存在的情况．1．解决此类问题的关键是准确的转化条件，建立所求参数的关系式，再进行求解．2．结合直线的特征，利用数形结合往往使问题的解决思路更明朗、简捷．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．[思路点拨][课堂笔记](1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴相等．∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，∴＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上可知，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)法一：将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴∴a≤－1.综上可知a的取值范围是a≤－1.法二：将l的方程化为：(x＋y＋2)＋a(x－1)＝0(a∈R)．它表示过l1：x＋y＋2＝0与l2：x－1＝0交点(1，－3)的直线系(不包括x＝1)．由图象可知l的斜率－(a＋1)≥0，即a≤－1时，直线l不经过第二象限．直线方程作为基础知识之一,是高考的必考内容.在高考中常与其他曲线相结合,三种题型均可出现,属于中低档题.[考题印证](2019·德州模拟)经过圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心且斜率为1的直线方程为()A．x－y＋3＝0B．x－y－3＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋3＝0【解析】圆心C的坐标为(－1,2)，故直线方程为y－2＝x－(－1)，即x－y＋3＝0.【答案】A[自主体验]如图，过点P(2,1)作直线l，分别交x、y轴正半轴于A、B两点．(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；(2)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l的方程．解：(1)法一：设所求的直线方程为＝1(a0，b0)，由已知得＝1，于是≤()2＝当且仅当，即a＝4，b＝2时，取最大值此时S△AOB＝ab取最小值4.故所求的直线l的方程为＝1，即x＋2y－4＝0.法二：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k0)．则A(2－，0)，B(0,1－2k)，∴S△AOB＝(2－)(1－2k)＝2＋(－4k－)≥2＋·2＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝±时取等号．∵k0，∴k＝－，故所求直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.(2)设直线l：y－1＝k(x－2)(k0)，分别令y＝0，x＝0得A(2－，0)，B(0,1－2k)．由|PA|·|PB|＝≥4.当且仅当k2＝，即k＝±1时，|PA|·|PB|取最小值．又k0，∴k＝－1，这时l的方程是x＋y－3＝0.1.设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，则a、b满足()A.a＋b＝1B.a－b＝1C.a＋b＝0D.a－b＝0解析：∵sinα＋cosα＝0，α是倾斜角，∴tanα＝－1，∴k＝－＝tanα＝－1，∴a－b＝0.答案：D2.已知直线l的倾斜角为α，并且0°≤α120°，则直线l的斜率k的取值范围是()A.－＜k≤0B.k＞－C.k≥0或k＜－D.k≥0或k＜－解析：当0°≤α＜90°时，k＝tanα≥0.当90°＜α＜120°，结合正切函数的图象知，tanα－.答案：C3．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为()A．－B.C．3D．－3解析：直线方程为，即2x－y＋3＝0.令y＝0，得x＝－，即为直线在x轴上的截距．答案：A4．过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为________________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为＝1，则故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.答案：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝05．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为_______________．解析：设直线方程为＝1，则∴所求直线方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.答案：2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝06．在△ABC中，已知A(5，－2)、B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．解：(1)设点C的坐标为(x，y)，则有＝0，＝0，∴x＝－5，y＝－3.即点C的坐标为(－5，－3)．(2)由题意知，M(0，－)，N(1,0)，∴直线MN的方程为x－＝1，即5x－2y－5＝0.