6空间任意力系

第六章空间任意力系西北工业大学支希哲朱西平侯美丽静力学空间任意力系第六章空间任意力系§6–5空间任意力系的平衡条件和平衡方程§6–2力对轴的矩§6–1力对点的矩静力学§6–3空间任意力系向任一点的简化§6–4空间任意力系的简化结果第六章空间任意力系目录第六章空间任意力系§6–1力对点的矩力对点之矩表示成矢量力对点之矩矢积表达式力对点之矩解析表达式第六章空间任意力系符号：MO(F)力矩矢MO(F)是一个定位矢量，它的大小和方向都与作用点O的位置有关。FDCOABE力可以对空间任意一点取矩，矩心和力所决定的平面可以有任意方位，所以空间力对任一点的矩应该表示成矢量。MO(F)MA(F)§6–1力对点的矩1.力对点之矩表示成矢量第六章空间任意力系即力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。MO(F)=r×Frα│mO(F)│=│r×F│=rFsinα=2SΔOAB大小：方向：用右手规则判定，与力对点之方向规定相符。2.力对点之矩矢积表达式§6–1力对点的矩第六章空间任意力系,kjirzyxkjiFzyxFFF把上两式代入得FrFmokjikjiFrFmzyxOFFFzyxkjixyzxyzyFxFxFzFzFyFzyxOFFFzyxkjiFm写成行列式形式kjiFmxyzxyzOyFxFxFzFzFyF证明：3.力对点之矩解析表达式§6–1力对点的矩第六章空间任意力系§6–2力对轴的矩力对轴的矩定义力对轴的矩的解析表达式力矩关系定理第六章空间任意力系把F的大小与其作用线到轴z的垂直距离的乘积Fd加以适当的正负号。第六章空间任意力系正负号规定：按右手法则：从轴z的正向回头看，如力F使物体绕轴z作逆时针转动，则取正号；反之，取负号。Mz(F)=±Fd§6–2力对轴的矩1.力对轴的矩定义zdAOFFF第六章空间任意力系一般的定义：力F对任一轴的矩，等于这力在这轴的垂直面的投影对该投影面和该轴交点的矩。Mz(F)=MO(F)Mz(F)=±Fd力对轴的矩§6–2力对轴的矩第六章空间任意力系特殊情况(1)力和轴平行。(2)力的作用线通过矩轴。§6–2力对轴的矩第六章空间任意力系xzyOzFxFFyFyFxFFxyzyFxFMFxyzyFxFMFzxyxFzFMFyzxzFyFMF2.力对轴的矩的解析表达式§6–2力对轴的矩第六章空间任意力系xyzyFxFMF,zxyxFzFMF,yzxzFyFMF力对坐标轴的矩的解析表达式kjiFMyFxFxFzFzFyFxyzxyzO)(力对原点的矩的解析表达式比较可得FFMyyOMFFMzzOMFFMxxOM力对坐标原点的矩在各坐标轴上的投影，等于该力对相应坐标轴的矩。3.力矩关系定理§6–2力对轴的矩第六章空间任意力系力对坐标原点的矩在各坐标轴上的投影，等于该力对相应坐标轴的矩。FFMyyOMFFMzzOMFFMxxOM几何证明§6–2力对轴的矩力矩关系定理第六章空间任意力系力对任一轴的矩，等于该力对这轴上任何一点O的矩矢在这一轴上的投影。力矩关系定理由于原点和坐标轴可以任意选择，所以上述结论可表述为：力对坐标原点的矩在各坐标轴上的投影，等于该力对相应坐标轴的矩。§6–2力对轴的矩力矩关系定理第六章空间任意力系若已知力对坐标轴的矩，则反过来可以求得对原点的矩的大小222222)))xyzxyzzyxOyFxFxFzFzFyFMMMM（（（方向余弦,)(cos,OyzOMzFyFiM,)(cos,OzxOMxFzFjMOxyOMyFxF)(cos,kM4.力对空间任意一点矩的计算§6–2力对轴的矩第六章空间任意力系受力情况如图所示，求（1）F1力对x，y，z轴的矩，（2）F2力对z′轴的矩。OBF1Aabcyxzz′F2α思考题§6–2力对轴的矩思考题第六章空间任意力系思考题OBF1Aabcyxzz′F2α222coscbac1.求F1力对x，y，z轴的矩。解：)()()(111xyxzxxMMMFFF0cos1bF0cos1aFF1xyF1z)()()(111xyyzyyMMMFFF0)(1FzM如图所示§6–2力对轴的矩第六章空间任意力系OBF1Aabcyxzz′F2α2.求F2力对z′轴的矩。cos)()(22FFAzMMbFMA22)(F应用力矩关系定理，先求力F2对点A的矩。然后再投影到z′轴上。§6–2力对轴的矩思考题第六章空间任意力系例6-1在直角弯杆的C端作用着力F，试求这力对坐标轴以及坐标原点O的矩。已知OA=a=6m，AB=b=4m，BC=c=3m，α=30º,β=60º。例题6-1例题6-1§6–2力对轴的矩第六章空间任意力系由图示可以求出力F在各坐标轴上的投影和力F作用点C的坐标分别为：解：x=b=4my=a=6mz=c=－3mcoscosFFxsincosFFysinFFz§6–2力对轴的矩例题6-1第六章空间任意力系则可求得力F对坐标轴之矩以及对原点O之矩的大小和方向。mN105sincossincFaFMxmN66sincoscosbFcFMymN8coscossincosFbFMz力F对坐标轴之矩为xyzyFxFMFzxyxFzFMFyzxzFyFMF由§6–2力对轴的矩例题6-1第六章空间任意力系力F对原点O之矩方向余弦531.0),cos(OyOMMjM845.0),cos(OxOMMiM064.0),cos(OzOMMkMmN3.124222zyxOMMMM力F对原点O之矩为§6–2力对轴的矩例题6-1第六章空间任意力系例6-2在轴AB的手柄BC的一端作用着力F，试求这力对轴AB以及对点B和点A的矩。已知AB=20cm，BC=18cm，F=50N，且α=45°，β=60°。例题6-2例题6-2xzyβαABCFx1y1§6–2力对轴的矩第六章空间任意力系解：FFBABMMcoscosBCFmN18.3xzyβαABCFx1y1F′1.力对轴AB的矩。应用解析式求解力对点B的矩。xyzyFxFMFzxyxFzFMFzyxFyFzMF222zyxOMMMM§6–2力对轴的矩例题6-2第六章空间任意力系坐标原点取在B点，则C点的坐标x=0，y=0.18m，z=0N7.17coscosFFxN7.17sincosFFyN3.43sinFFzmNyFxFMxyz80.7FmN18.3zxyxFzFMF0yzxzFyFMF力F的各投影力F对坐标轴的矩2.力对点B的矩。xzyβαABCFx1y1F′例题6-2§6–2力对轴的矩第六章空间任意力系可求出力矩MB(F)的大小和方向余弦。222zyxOMMMMOxMM)(cos,iMOOyMM)(cos,jMOOzMM)(coskMO,由3.力对点A的矩。与计算力对点B的矩的方法相同，但坐标原点应取在点A。xzyβαABCFx1y1F′§6–2力对轴的矩例题6-2第六章空间任意力系§6–3空间任意力系向任一点的简化力线平移定理主矢与主矩的计算力系向任一点的简化第六章空间任意力系当一个力的作用线平行移动时，附加力偶矩矢等于原力对新作用点的矩矢。§6–3空间任意力系向任一点的简化1.力线平移定理第六章空间任意力系工程实例分析力线平移定理§6–3空间任意力系向任一点的简化第六章空间任意力系空间任意力系向任一点简化后，一般得到一个力和一个力偶。这个力称为原力系的主矢，它等于力系中所有各力的矢量和；这个力偶称为该力系简化中心的主矩，它等于力系中所有各力对该简化中心的矩之矢量和。与平面情形相同，主矢与简化中心的位置无关，而主矩则一般与简化中心的位置有关。iFFRiOMM2.力系向任一点的简化§6–3空间任意力系向任一点的简化第六章空间任意力系空间任意力系简化的实例力系的简化§6–3空间任意力系向任一点的简化第六章空间任意力系主矢F'R在直角坐标系oxyz的投影主矢的大小和方向余弦2R2R2RRzyxFFFF222zyxFFF＝,,cosRRFFxiFR,cosRRRFFyj,FRRR,cosFFzkF,RxxFF,RyyFFzzFFR（1）主矢的计算3.主矢与主矩的计算§6–3空间任意力系向任一点的简化第六章空间任意力系若已知主矩MO在直角坐标系Oxyz的投影，则可以求得主矩的大小和方向余弦。222222)))xyzxyzzyxOyFxFxFzFzFyFMMMM（（（,)(cos,OyzOMzFyFiM,)(cos,OzxOMxFzFjMOxyOMyFxF)(cos,kM（2）主矩的计算§6–3空间任意力系向任一点的简化主矢主矩的计算第六章空间任意力系§6–4空间任意力系的简化结果力系简化的结果合力矩定理的一般形式第六章空间任意力系MAAAF(1)力系合成为合力偶该力系的主矩不随简化中心的位置而改变。MB=MA+MB(FA′)ΑBFF则MB=MA0ΑF如果证明BMBBFFR′=0，而MO≠0，则原力系合成为一个矩为MO的合力偶。§6–4空间任意力系的简化结果1.力系简化的结果如果向点B简化，则由力线平移定理有第六章空间任意力系OR′MOFR′≠0，MO=0，则原力系合成为一个作用于简化中心O的合力FR，且FR=FR'。FR′≠0，MO≠0，且FR′⊥MO。(2)力系合成为合力则原力系仍然合成为一个合力FR。§6–4空间任意力系的简化结果力系简化结果O'dFR′FROO'dFR′第六章空间任意力系FR′≠0，MO≠0，且FR′∥MO。(3)力系合成为力螺旋力系合成为一个力（作用于简化中心）和一个力偶，且这个力垂直于这个力偶的作用面。这样的一个力和一个力偶的组合称为力螺旋。右手螺旋：力矢F与力偶矩MO指向相同（图a）。左手螺旋：力矢F与力偶矩MO指向相反（图b）。FMO（a）MO（b）F§6–4空间任意力系的简化结果力系简化结果第六章空间任意力系FR′≠0，MO≠0，且FR′与MO成任意角，力系合成为一个力螺旋。§6–4空间任意力系的简化结果力系简化结果OAdFR′FR″FR'MO′OAdFR″MO′FR′MOOMO′FR″FR′MO′MO″O第六章空间任意力系FR′≠0，MO≠0，且FR′与MO成任意角，力系合成为一个力螺旋。在一般情况下空间任意力系可合成为力螺旋。归纳本节所述，可得出如下结论，只要主矢和主矩不同时等于零，空间任意力系的最后合成结果可能有三种情形：一个力螺旋(FR′≠0，MO≠0且两者不相互垂直)。一个力偶(FR′=0，MO≠0);一个力(FR′≠0，而MO=0或FR′⊥MO)；§6–4空间任意力系的简化结果力系简化结果第六章空间任意力系力螺旋工程实例§6–4空间任意力系的简化结果第六章空间任意力系力螺旋工程实例§6–4空间任意力系的简化结果第六章空间任意力系力螺旋工程实例§6–4空间任意力系的简化结果第六章空间任意力系(1).力系如有合力，则合力对任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的矢量和。(2).力系如有合力，则合力对任一轴的矩等于力系中各力对同一轴的矩的代数和。iOOFMFMRixxMMFFR2.合力矩定理的一般形式§6–4空间任意力