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高中数学选修2-1问题情境平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面的两个不共线向量来线性表示，那么，空间任一向量能用三个不共线的向量来线性表示吗？构建数学1.平面向量基本定理．如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使得1e1122aee＝＋．2ea2．类比平面向量基本定理，得出空间向量基本定理．（1）空间向量的基本定理．123123.eeepxyzpxeyeze 如果三个向量，，不共面，那么对于空间任一向量，存在一个惟一的有序实数组（，，）,使＝＋＋（2）空间向量基本定理的证明．（4）空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．奎屯王新敞新疆（5）如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{，，}表示．（3）如果三个向量，，不共面，那么空间的任一向量都可由，，线性表示，我们把{，，}叫做空间的一个基底，，叫做基向量．1e2e3e1e2e3e1e2e3e1e2e3e（6）推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在惟一的三个有序实数x，y，z，使．OPxOAyOBzOC＝＋＋ijk数学应用1-''''.OADBCADBEABODMODCEOAOBOCODOM例如图，在正方体中，点是与的交点，是与的交点，试分别用向量，，表示和111333ODOAOBOCOMOAOBOC解：＝＋＋＝＋＋OA’CMED’B’ADB22.OABCOBACMNOABCGMNMGGNOAOBOCOG例如图，已知空间四边形，其对角线，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且＝，用基底，，表示向量212()3231211[()]2322111()2331116331163OGOMMGOMMNOAONOMOAOBOCOAOAOBOCOAOAOBOCOGOAOB解：＝＋＝＋＝＋－＝＋＋－＝＋＋－＝＋＋＝＋13OC＋ABCOMNG练一练如图，空间平移△ABC到△A1B1C1，连接对应顶点，已知，且M是BC1的中点，N在AC1上，12ANNCabcMN＝，试用向量，，表示．1AAaABbACc＝，＝，＝回顾小结本节课学习了以下内容：1．掌握空间向量基本定理及其推论；2.理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示；3．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量；4．思想方法上，类比的思想由平面向量的基本定理扩展到空间向量的基本定理；5.空间向量要注重数形结合．高中数学选修2-1问题情境在“平面解析几何初步”一章中，我们已经学习过空间直角坐标系，并能用坐标表示空间任意一点的位置．那么，1．如何用坐标表示空间向量？2．怎样进行空间向量的坐标运算？构建数学1．复习平面向量的坐标表示．ykiA(x,y,z)Ojxza2．空间向量的坐标表示．如图，在空间直角坐标系O-xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量作为基向量，对于空间任意一个向量，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组（x,y,z），使有序实数组（x,y,z）叫做向量在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，a()axyz记作：＝，，aijk，，.axiyjzk＝＋＋对于空间任意一点A（x，y，z），()OAOAxyz向量坐标为＝，，．3．空间向量的坐标运算法则．123123()()aaaabbbb＝，，，＝，，，（1）若则112233()abababab＋＝＋，＋，＋，112233()abababab－＝－，－，－，123()()R，，aaaa＝∈，112233()R，，abababab＝＝＝∈，数学应用(474)(21312)3(3924)ababa解：＋＝，，，－＝－，－，，＝，－，(138)(3104)ab＝，－，，＝，，－，已知求3ababa＋，＋，例2已知空间四点A(－2，3，1)，B(2，－5，3)，C(10，0，10)和D(8，4，9)，求证：四边形ABCD是梯形．解：结论：一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．(482)(241)23(3924)ABOBOADCABDCaABDCABDCADBC＝＝－＝－＝＝－≠又与不共线，－，，，，，，，，，，所以所以四边形ABCD是梯形．练一练已知A（1，0，0），B（0，10，0），C（0，0，2），点D满足DB∥AC，DC∥AB，求点D的坐标．回顾小结本节课学习了以下内容：1．用坐标表示空间向量的坐标运算；2．用向量的坐标判断两个空间向量平行；3．思想方法上，类比的思想由平面向量的坐标表示得出空间向量的坐标表示方法及性质．4．空间向量要注重数形结合，．