中职教育-数学(基础模块)上册-第五章-三角函数.ppt

第5章三角函数•角的概念的推广5.1•弧度制5.2•任意的三角函数5.3•同角三角函数的基本关系5.4•三角函数的诱导公式5.5•三角函数的图像和性质5.65.7•已知三角函数值求角内容简介：本章主要内容是三角函数的定义、函数和性质及应用。三角函数是基本初等函数，它是描述周期函数的数学模型，在数学和其他领域中有着重要的作用。本章以单位圆及几何中的对称为基础，应用代数的方法对三角函数进行讨论，使学生初步了解代数与几何的联系。高等数学、物理学、天文学、测量学以及其他各科科学技术都会应用到三角函数的知识，因此这些知识既是进一步学习数学的必要基础，又是解决生产技术实际问题的有力工具。学习目标：了解角的概念推广，理解弧度制的概念和意义，理解任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数；掌握利用计算器求三角函数的值，理解同角三角函数的基本关系，了解诱导公式的推导及简单应用，理解正弦函数的图像和性质；了解余弦函数的图像和性质，掌握利用计算器求角度；了解“已知一个角的三角函数值，求在指定范围内的角”的方法。5.1角的概念的推广5.1.1角的基本概念一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB所形成的图形称为角，如图5-2所示．旋转开始处的射线OA称为角α的始边，旋转终止处的射线OB称为角α的终边，射线的端点O称为角α的顶点．图5-2一般规定：按逆时针方向旋转所形成的角称为正角，按顺时针方向旋转所形成的角称为负角．特别地，当一条射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角称为零角．例如，在图5-3中，正角α=210°，负角β=－150°，正角γ=660°．图5-3为了研究的方便，我们经常在平面直角坐标系中讨论角．将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合．这样一来，角的终边落在第几象限，就把这个角称为第几象限的角，或者说这个角在第几象限．如图5-4所示．图5-4特别地，如果一个角的终边落在坐标轴上，则称为界限角，它不属于任何一个象限．5.1.2终边相同的角在同一直角坐标系中，作出30°、390°和－330°角，如图5-5所示．图5-5通过观察可以发现，390°、－330°角的终边都与30°角的终边相同．我们把这些角称为与30°角终边相同的角．显然，与30°角终边相同的角有无数多个.因此，所有与30°角终边相同的角（包括30°角），都可以表示成30°与360°的整数倍的和，即都可以写成30°＋k▪360°（ｋ∈Ｚ）的形式．所以，与30°角终边相同的角的集合为｛β｜β=30°＋k▪360°（ｋ∈Ｚ）｝．一般地，所有与角α终边相同的角（包括角α在内）都可以写成α＋k▪360°（ｋ∈Ｚ）的形式，它们所组成的集合为｛β｜β=α＋k▪360°（ｋ∈Ｚ）｝5.2弧度制在数学和其他科学中，经常使用另一种方法来度量角．把等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角，记作1弧度或1rad．这种以“弧度”为单位来度量角的单位制称为弧度制．如图5-6所示，用弧度制表示的这两个圆心角分别是1rad，2rad．图5-6我们规定：正角的弧度是正数，负角的弧度是负数，零角的弧度是零．角度制与弧度制之间的转换关系为360°=2π（rad），即180°=π（rad）．因此，角度与弧度的转换公式为1(rad)001745(rad)180.°≈1801(rad)()5735718.°≈°°表5-1中列出了一些特殊角的角度与弧度的对应关系．表5-1角度0°30°45°60°90°120°150°180°270°360°弧度0π/6π/4π/3π/22π/35π/6π3π/22π计算器辅助求值我们以用CASIOfx－82ESPLUS型计算器将135°由角度转换为弧度，将11π/6由弧度转换为角度为例，介绍用计算器进行角度与弧度转换的一般方法．（1）首先将135°由角度转换为弧度．按键，打开计算器，然后依次按键和键，再按键选择弧度制，将计算器设置为弧度计算模式．ONSHIFTMODE4（2）先输入“135”，再依次按、、键，改输入值为角度“135°”，然后按键，即可得到135°对应的弧度值“3π/4”．SHIFTAns1（3）接下来将11π/6由弧度转换为角度．先按键（清屏），然后依次按键和键，再按键选择角度制，将计算器设置为角度计算模式．ONSHIFTMODE3（4）按键，先输入分子中的“11”，再依次按、键输入分子中的“π”，然后按键，输入分母“6”，再按键．SHIFT10x▼▶（5）依次按、、键，改输入值为弧度“”，然后按键，即可得到11π/6对应的角度值“330”．（6）依次按键和键，关闭计算器．SHIFTAns2116rSHIFTAC5.3任意角的三角函数5.3.1任意角的正弦、余弦和正切函数在直角坐标系中，设α是一个任意角，在角α的终边上任取一点P（x，y），则点P到原点的距离为（r＞0），如图5-8所示，那么任意角α的正弦、余弦和正切可以分别定义为22rxysincostanyxyrrx，，图5-8根据相似三角形的知识，对于每一个确定的角α，其正弦、余弦和正切（当x≠0时）的值都是唯一确定的，而与点P在角α终边上的位置无关．因此，正弦、余弦和正切都是以角α为自变量的函数，分别称为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都是角α的三角函数．在弧度制下，三角函数可以看作是以实数为自变量的函数．正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域及值域如表5-2所示．表5-2三角函数定义域值域y=sinαR[－1,1]y=cosαR[－1,1]y=tanα｛α|α≠π/2＋kπ，k∈Z｝R5.3.2三角函数值的正负号1．各象限角的三角函数值的正负号根据任意角的三角函数的定义，由于r＞0，所以三角函数值的正负号取决于终边上点P的坐标（x，y）．表5-3中列出了各象限角的三角函数值的正负号与点P（x，y）的坐标的对应关系．表5-3α所在象限点P的坐标sinαcosαtanαxy第一象限＋＋＋＋＋第二象限－＋＋－－第三象限－－－－＋第四象限＋－－＋－为了便于记忆，我们把sinα、cosα、tanα的正负号标在各个象限中，如图5-9所示．图5-92．界限角的三角函数值对于界限角，可以根据三角函数的定义求出其正弦、余弦和正切值．具体如表5-4所示．表5-4三角函数0π/2π3π/22πsinα010－10cosα10－101tanα0不存在0不存在05.3.3用计算器求已知角的三角函数值用CASIOfx－82ESPLUS型计算器的、、键，可以方便地计算任意角的正弦、余弦、正切等三角函数值，具体方法为：设置计算模式（角度制或弧度制）→按(或、)键→输入角的大小→按键显示结果．sincostansincostan5.4同角三角函数的基本关系1．单位圆在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆称为单位圆．如图5-10所示，设任意角的终边与单位圆相交于点P（x，y），根据三角函数的定义，可得sin1yyyrcos1xxxr图5-10可见，角α的正弦值和余弦值分别等于其终边与单位圆的交点P的纵坐标y和横坐标x．因此，角α的终边与单位圆的交点P的坐标可以表示为P（cosα，sinα）．2．同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式：22sincos1sintancos5.5三角函数的诱导公式5.5.1α＋2kπ（k∈Z）的诱导公式根据三角函数的定义可知，终边相同的角的同名三角函数值相等．在平面直角坐标系中，角α＋2kπ与角α的终边相同，所以当k∈Z时，有sin(2)sincos(2)costan(2)tankkk以上为弧度制下的表示形式，下方是角度制下的表示形式：sin(360)sincos(360)costan(360)tankkk°°°5.5.2－α的诱导公式－α的诱导公式为sin()sincos()costan()tan5.5.3π＋α的诱导公式π＋α的诱导公式为sin()sincos()costan()tan下方是角度制下的表示形式：sin(180)sincos(180)costan(180)tan°°°π－α的诱导公式为下方是角度制下的表示形式：sin()sincos()costan()tansin(180)sincos(180)costan(180)tan°°°5.6三角函数的图像和性质5.6.1正弦函数的图像和性质正弦函数y=sinx的定义域为实数集R．这里先用描点法作出它在区间[0,2π]上的图像．把区间[0,2π]分成8等份，分别求出函数y=sinx在各分点及区间端点的函数值，然后列表，如表5-5所示．表5-5x0π/4π/23π/4π5π/43π/27π/42πy00.7110.710－0.711－0.710以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点（x，y），然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数y=sinx在[0，2π]上的图像，如图5-13所示．图5-13我们把正弦函数y=sinx在[0，2π]上的图像向左或向右平移2π，4π，6π，…个单位，就得到了y=sinx在R上的图像，如图5-14所示．正弦函数的图像称为正弦曲线．图5-14由正弦曲线可知，正弦函数y=sinx主要具有如下性质：（1）定义域正弦函数y=sinx的定义域为R，即（－∞，＋∞）．（2）值域正弦函数y=sinx的值域为[－1，1]．（3）周期性一般地，对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域D内的每一个值时，都有x＋T∈D，并且f（x＋T）=f（x）成立，那么函数y=f（x）称为周期函数，非零常数T称为这个函数的一个周期．由于正弦函数y=sinx的定义域为R，对于任意的x∈R，都有x＋2kπ（k∈Z），并且sin（x＋2kπ）=sinx（诱导公式）成立，因此正弦函数是周期函数，2π，4π，6π，…以及－2π，－4π，－6π，…都是它的周期．在周期函数的所有周期中，如果存在一个最小的正数，那么就将它称为最小正周期（习惯上直接简称为周期）．故正弦函数的周期为2π．（4）奇偶性正弦曲线关于原点O中心对称，因此正弦函数y=sinx是奇函数．（5）单调性当x由－π/2增大到π/2时，正弦曲线逐渐上升，y=sinx的值由－1增大到1；当x由π/2增大到3π/2时，正弦曲线逐渐下降，y=sinx的值由1减小到－1．根据周期性可知，正弦函数在每一个区间[－π/2＋2kπ，π/2＋2kπ]（k∈Z）上都是增函数，其函数值由－1增大到1；在每一个区间[π/2＋2kπ，3π/2＋2kπ]（k∈Z）上都是减函数，其函数值由1减小到－1．表5-6x0π/2π3π/22πy12101图5-155.6.2余弦函数的图像和性质首先用描点法作出余弦函数y=cosx在区间[0,2π]上的图像．把区间[0,2π]分成8等份，分别求出函数y=cosx在各分点及区间端点的函数值，然后列表，如表5-7所示．表5-7x0π/4π/23π/4π5π/43π/27π/42πy10.710－0.71－1－0.7100.710以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点（x，y），然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数y=cosx在[0，2π]上的图像，如图5-16所示．图5-16余弦函数的定义域为R，由cos（x＋2kπ）=cosx（x∈R，k∈Z）可知，余弦函数是周期函数，其周期为2π．根据余弦函数的周期性，我们把正弦函数y=cosx在[0，2π]上的图像向左或向右平移2π，4π，6π，…个单位，就得到了y=cosx在R上的图像，如图5-17所示．余弦函数的图像称为余弦曲线．图5-17余弦函数y=cosx主要具有如下性质：（1）定义域