正弦定理及其应用

第一章:解三角形1.问题的引入:.某游客在爬上山顶后，在休息时看到对面的山顶想：这离对面有多远的距离呢？请同学们帮帮这位游客。（工具是测角仪和皮尺）思考：在直角三角形中，“边”与“角”的关系Rt中ABC222abcsin,sinacAbcBsinsinabABsin1CsinsinsinabcABC思考：对于一般三角形，上述结论是否成立在锐角三角形中，CDABD作于点sin,sinCDACDbAb即sin,sinCDBCDaBa即sinsinbAaBsinsinabAB即sinsinacAC同理：sinsinsinabcABC在钝角三角形中，CDABABD作交的延长线于点sin,sinCDACDbAb即sin180sin,sinCDBBCDaBa即sinsinbAaBsinsinabAB即sinsinacAC同理：sinsinsinabcABC由以上三种情况的讨论可得：正弦定理：sinsinsinabcABC思考：用“向量”的方法如何证明“正弦定理”在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即iAB向量是与向量垂直的单位向量iABBCiACiBCiACcoscoscoscos2222aBbAaBbA或sinsinabAB即sinsinaBbAsinsinacAC同理：sinsinsinabcABC思考：用“三角形面积公式”如何证明“正弦定理”∵BACDabcaABCahS21而CbBcADhasinsin∴CabBacSABCsin21sin21同理∴BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin212sinsinsinABCabcabcSABCCcBbAasinsinsin　正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即变形：CBAcbasin:sin:sin::小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。解三角形。中，已知在,9.42,8.81,0.3200cmaBAABC定理的应用举例例1例2、在三角形ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形（角度精确到1°边长精确到1cm）已知两边和其中一边的对角,求其他边和角在例2中，将已知条件改为以下几种情况，结果如何？（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3;（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3;（3）b＝20，A＝60°，a＝15.60°ABCb（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3sinB＝＝，bsinAa12B＝30°或150°，∵150°＋60°180°，∴B＝150°应舍去.60°2020√3ABC（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3sinB＝＝1，bsinAaB＝90°.B60°AC20（3）b＝20，A＝60°，a＝15.sinB＝＝，bsinAa2√332√33∵1，∴无解.60°20AC已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．Ａ为锐角absinA无解a=bsinA一解bsinAab两解一解a≥bＡ为直角或钝角ab一解a≤b无解ＡＢＣbaＡＣbaＡＣabＡＢＣabＡＢ１Ｂ２ＣabＡＢＣab（2R为△ABC外接圆直径）2sinsinsinabcRABC求证：证明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90''2,2sinsinabRRAB同理'',,OBBCAC作外接圆过作直径连2sinsinsinabcRABCCcBbAasinsinsin　正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即含三角形的三边及三内角,由己知二角一边或二边一角可表示其它的边和角定理结构特征:1.1.1正弦定理剖析定理、加深理解sinsinsinabcABC1、A+B+C=π2、大角对大边，大边对大角正弦定理：剖析定理、加深理解3、正弦定理可以解决三角形中的问题：①已知两角和一边，求其他角和边②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角sinsinsinabcABC正弦定理：剖析定理、加深理解4、一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形sinsinsinabcABC正弦定理：剖析定理、加深理解5、正弦定理的变形形式6、正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化sinsinsinabcABC正弦定理：ACababsinA无解ACaba=bsinA一解ACabbsinAab两解BB1B2BACbaab一解aABabCABabCABabCab无解a=b无解ab一解15,4,120abA，求B；判断解的个数：ABC25,4,90abA，求B；10335,,903abA，求B；420,28,40abA，求B；一解一解一解两解35sincos,513sin.ABCABC在中，已知，求.6563)sin(sin.54cos,sinsinsinsin,53sin.1312sin),,0(,135cosBACAABAbaBbAaBAABBB只能为锐角，可知由正弦定理又解：412cos,sin,sin.513ABCABC变式：在中，已知求.65336563sin.6533)sin(sin135cos)2(.6563)sin(sin135cos)1(.135cos,sinsin,1312sin53sin),0(,54cos或时，时，角，可以为锐角也可以为钝又解：CBACBBACBBBBAbaBABAAA221().4ABCSbcABC已知的面积，试确定的形状.20sin10)sin1(21,0)(410)sin1(21)(41sin21)(412222为等腰直角三角形且解：ABCcbAAcbAbccbAbccbAbccbS,,,,2cos(60).ABCABCabcbcaCA在中，设所对的边分别为，若，求sinsin2sin(cos60cossin60sin)sinsin()sincoscossinsinsincos3sincos(3sincos)sinsin1sin03sincos1sin(30).2303021030150120.BCACCBACACACCACACAACCCAAAAAA解：由正弦定理得即又