15空间向量的应用

对于空间任意一条直线，与直线平行的非零向量叫做直线的一个方向向量。d空间直线的方向向量lll注：直线有无穷多个方向向量，这些方向向量是相互平行的lllllldlll对于空间任意一条直线，与直线平行的非零向量叫做直线的一个方向向量。dlll注：直线有无穷多个方向向量，这些方向向量是相互平行的l例、已知所有棱长为1的正三棱锥A-BCD，试建立空间直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量。0,1,0,3,1,0,3,1,01,3,22,1,0,2,1,3,22BDBCCDABACADddddddDCAB注：为了计算和表达的方便，我们常选用坐标的值比较简单的方向向量。例、已知=（2，2，1），=（4，5，3）求平面ABC的单位法向量.ABAC0122,,333n对于非零的空间向量,如果它所在的直线与平面α垂直,那么向量叫做平面α的一个法向量.nn平面的法向量注:(1)平面有无穷多个法向量，这些法向量是相互平行的；(2)平面的法向量与平面内的所有向量都垂直n例、在放置于空间直角坐标系中的长方体中，求下列平面的一个法向量：（1）平面；（2）平面；（3）平面1111ABCDABCDABCD11ACCA1ACDxyzABCD1A1B1C1D0,0,1n1,2,0n3,6,4n234问题:如何求平面的法向量?⑴设平面的法向量为(,,)nxyz⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)aabcbabc⑶根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程组00nanb⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.法向量与方向向量的应用1：判断平行关系基础命题1：两条直线平行与重合基础命题2：一条直线与一个平面平行或在一个平面内基础命题3：两个平面平行或重合方向向量互相平行这条直线的方向向量垂直于该平面的法向量它们的法向量互相平行Ex：如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，PD=DC，E是PC的中点，作交PB于点F，证明：（1）（2）PABCDPDABCD底面EFPBPAEDB平面PBEFD平面xyzGFEABCDP推论：一条直线与一个平面垂直这条直线的方向向量平行于该平面的法向量EX.如图，在长方体中，求证：平面平面.''''ABCDABCD'//CDB''ABDABDCD'C'B'A'xyz法向量与方向向量的应用2：空间角的度量022coscos即空间两条直线所成的角：设空间直线a与b所成的角为它们的一个方向向量分别为的夹角为，根据空间两条直线所成的角的定义，可知是,20212222,,,dlmndd与0与1111,,,dlmnEx：正四面体ABCD的棱长为a，E、F分别是棱BC和AD的中点，求直线AE和FC所成角DCABEFOxyz2arccos3Ex：四棱锥S-ABCD的高SO=3,底面是边长为2,∠ABC=600的菱形,F是SA的中点,E是SC的中点,求异面直线DF与BE所成角的大小.FESODCBAxzy2arccos11空间直线与平面所成的角：当直线l与平面相交且不垂直时，设它们所成的角为是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，的夹角为，那么有如下关系：0,2dn与dn与022220,;,022sincoslll于是或二面角：设两个半平面所在的平面α1，α2的法向量分别为，两个法向量的夹角为，二面角的大小为，可以看出12,nn0或|cos||cos|Ex：在正方体ABCD-A’B’C’D’中，E，F分别是BC,CD的中点，求：（1）直线A’D与平面EFD’B’所成角的大小；（2）二面角B-B’E-F的大小。2arcsin62arccos3Ex：已知正三棱柱的所有棱长都是a，M是棱的中点，求：（1）直线与平面所成角的大小（2）二面角的大小111ABCABC11AB1BB1AMC11MACAxyzA1AB1BC1CM5arcsin515arccos5Ex：已知正方体的棱长为2，P、Q分别在BC、CD上运动，且，建立如图所示坐标系（1）确定P、Q的位置，使得（2）当时，求二面角的大小1111ABCDABCD2PQ11BQDP11BQDP1CPQAABCD1A1B1C1DPxyzQ1arccos3中点sincosdAMAMnAMnAMAMnAMnAMn设A是平面α外任意一点，是平面α过点A的法向量，点M是平面α内任意一点，向量的夹角为θ，直线AM与平面α所成角为。AMn与n法向量与方向向量的应用3：空间点到平面的距离思考：点面、线面距离可以用该公式，那么异面直线之间的距离也可用吗？想想为什么？nAMdnEx:在长方体ABCD-A’B’C’D’中，AB=2,AD=1,AA’=1.求：（1）顶点B’到平面D’AC的距离；（2）直线BC’到平面D’AC的距离。可以4323BEX.已知直三棱柱111─ABCABC的侧棱14AA,底面△ABC中,2ACBC,90BCA,E是AB的中点,求异面直线CE与1AB的距离.ACC1EA1B1zxy233